2018届高三数学(理)一轮复习：第十一章 统计、 统计案例全国通用

第三节变量间的相关关系、统计案例

A组基础题组

1.已知变量x,y之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,回归直线l的方程为=x+,则下列说法正确的是()

A.>0,<0

B.>0,>0

C.<0,<0

D.<0,>0

2.(2015福建,4,5分)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:

根据上表可得回归直线方程=x+,其中=0.76,=-.据此估计,该社区一户年收入为15万

元家庭的年支出为()

A.11.4万元

B.11.8万元

C.12.0万元

D.12.2万元

3.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度不断加快,这已经成为全球性的威胁.为考察某种埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小动物进行试验,得到如下列联表:

附表:

其中K2=.

参照附表,下列结论正确的是()

A.在错误率不超过5%的前提下,可认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”

B.在错误率不超过5%的前提下,可认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”

C.有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”

D.有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”

4.已知变量x与y之间的回归直线方程为=-3+2x,若x i=17,则y i的值等于()

A.3

B.4

C.0.4

D.40

5.2016年春节期间,某市物价部门对该市5家商场某商品一天的销售量及售价进行了调查,5家商场的售价x(单位:元)和销售量y(单位:件)之间的一组数据如下表所示:

通过散点图可知,销售量y与售价x之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是=-3.2x+,则的值为.

6.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录进行比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算得K2≈3.918,经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中,正确结论的序号是.

①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”;

②若某人未使用该血清,那么他在一年中有95%的可能性得感冒;

③这种血清预防感冒的有效率为95%;

④这种血清预防感冒的有效率为5%.

7.(2016赣中南五校2月联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)

根据以上数据能否判断有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关?

附表及公式:

K2=.

8.某商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比,得到如下表格:

其中i=1,2,3,4,5,6,7.

(1)以每天进店人数为横轴,每天商品销售件数为纵轴,画出散点图;

(2)求回归直线方程;(结果保留到小数点后两位)

参考数据:x i y i=3245,=25,=15.43,=5075,7()2=4375,7=2700

(3)预测进店人数为80时商品销售的件数.(结果保留整数)

B组提升题组

9.(2016河南开封一模)下列说法错误的是()

A.自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系

B.在线性回归分析中,相关系数r的值越大,变量间的相关性越强

C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高

D.在回归分析中,R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好

10.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:

小李这5天的平均投篮命中率为;用线性回归分析的方法,可预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为.

11.(2016河南新乡许昌平顶山二调)某校高二年级共有学生1000名,其中走读生750名,住宿生250名,现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查,得到这100名学生每天

晚上有效学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组:①0,30),②30,60),③60,90),④90,120),……得到频率分布直方图(部分),如图所示.

(1)如果把“学生晚上有效学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的100名学生,完成下列2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关;

附:

K2=.

(2)若在第①组、第②组、第③组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因,记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.

答案全解全析

A组基础题组

1.D由题图可知,回归直线的斜率是正数,即>0;回归直线在y轴上的截距是负数,即<0,故选D.

2.B由统计数据表可得==10.0,==8.0,则

=8.0-0.76×10.0=0.4,所以回归直线方程为=0.76x+0.4,当x=15时,=0.76×15+0.4=11.8,故估计年收入为15万元家庭的年支出为11.8万元.故选B.

3.A由题意得,K2=≈

4.762,结合附表比较得3.841<K2<

5.024,所以在错误率不超过5%的前提下,可认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”,故选A.

4.B依题意有==1.7,而直线=-3+2x一定经过样本点的中心(,),所以

=0.4×10=4.

=-3+2=-3+2×1.7=0.4,所以y

5.答案40

解析由题意可知,==10,==8,故样本点的中心为(10,8),将其代入

线性回归方程=-3.2x+,可解得=40.

6.答案①

解析∵3.918≥3.841,P(K2≥3.841)≈0.05,所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的,不是同一个问题,不要混淆.

7.解析由2×2列联表中数据得K2的观测值k==≈5.556>5.024,

所以有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关.

8.解析(1)散点图如图所示.

(2)因为x i y i=3245,=25,=15.43,=5075,

7()2=4375,7=2700.

所以=

=-=-4.07,

所以回归直线方程是=0.78x-4.07.

(3)进店人数为80时,商品销售的件数为y=0.78×80-4.07≈58件.

B组提升题组

9.B根据相关关系的概念知A正确;当r>0时,r越大,相关性越强,当r<0时,r越大,相关性越弱,故B不正确;对于一组数据拟合程度好坏的评价,一是残差点分布的带状区域越窄,拟合效果越好;二是R2越大,拟合效果越好,所以R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好,C,D正确,故选B.

10.答案0.5;0.53

解析这5天的平均投篮命中率=×(0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5.利用相关公式计算易得=0.01,=0.47,∴线性回归方程为=0.01x+0.47,当x=6时,=0.01×6+0.47=0.53.

11.解析(1)

K2=≈5.556.

由于K2>3.841,所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关.

(2)设第i组的频率为P i(i=1,2,…,8),则由题图可知,P1=×30=,P2=×30=,P3=×30=,可得第①组1人,第②组4人,第③组10人.

因为X的所有可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)==,

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=3)==.

所以X的分布列为

E(X)=0×+1×+2×+3×=1.