第三章__非稳态导热

高等传热学内容

第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章

导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热

第十章 自然对流 第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算 第十三章 复合换热

第三章 非稳态导热 3-1 集总热容分析 考虑非稳态导热的一种最简单的情况，如果所研究的物体的导热

系数较大，或者厚度较薄，或者与环境的换热较弱，则物体内部 的导热热阻相对于表面的换热热阻是个小量，物体内部的温差可 以忽略不计。在这样的条件下，可以近似地认为在任何时刻允许 用一个单一的温度来表示整个物体的温度，把一个有分布热容的 物体看成是“集总热容”物体，忽略物体内部的导热过程而只考 虑它与周围环境的换热。即假设物体中的温度只是时间的函数而 与坐标无关。 集总热容物体是一种理想化的情况。引进这样的假定的条件是在 非稳态导热过程中物体内部的温差比物体与环境之间的温差小得 多。一个实际问题能否简化为集总热容物体来处理，可根据无量 纲准则Bi=hL/λ的大小来判断。因此，当Bi足够小(Bi<<1)时， 物体外部的热阻起主导作用，内部温度趋于均匀。这样的物体可

称为“薄壁物体”,这样的分析方法称为“集总热容法”。

3-1 集总热容分析 由于物体的温度只是时间的函数，物体几何形状的影响

消失，这就使得物体的温度响应可由常微分方程来描述， 初始条件也不存在温度分布而只有单一的初始温度值， 导热问题的数学处理大大简化。 通常建议以Bi<<0.1作为“薄壁物体”的判据。但应该说 这只是半定量的判断，因为用集总热容法进行简化的合 理性还取决于问题本身对精度的要求；此外，虽然对于 集总热容法处理的问题通常可取物体的体积与表面积之 比Lc=V/S作为特征尺寸，但Bi中的特征尺寸的选取实际 上并没有严格的规定。例如，大平壁可以选其厚度δ或Lc =δ/2作特征尺寸；长圆柱可以选其直径d、半径r或Lc= r/2作特征尺寸。选取的特征尺寸不同当然会影响相应的

Bi值。

3-1 集总热容分析 仍参照图1-3,物体占据的体积为V,表面积为A,有内

热源qv。在集总热容的假定下，对研究的物体写出热量 平衡方程，可得 (3-l-1) 对于无内热源的物体，qv=o;如果物体表面以牛顿冷却 定律的规律与周围环境换热，平均对流换热表面传热系 数为h,以上方程可简化为 dt cV hA(t t f ) d

dt cV q dA qV dV A V d

(3-1-2)

图1-3 导热微分方程的推导

3-1 集总热容分析 3-1-1 环境温度保持为常量 引进“过余”温度θ = t-tf ,则问题的数学描述为

d cV hA 0 d

(3-1-3)

初始条件为 0, 0 t t0 常微分方程(3-1-5)的通解为

(3-1-4)

hA C exp (3-1-5) cV 由初始条件式(3-1-4)可得C=θ0,由此得该问题的解为

hA exp 0 cV

(3-1-6)

3-1 集总热容分析

0.368θ0。 3-1-2 环境温度按线性变化 设环境温度按线性变化，即

cV /(hA) 1 具有时间的量纲，称为该问题的“时间常数”, 它表征物体温度变化的快慢，即热惯性的大小。当时 1 ,θ =

(3-1-7) 其中b为常量，t0是物体和环境在初始时刻的温度。引进过余温度

t f t0 b

θ=t-t0,则该物体的温度响应可用如下的常微分方程初值问题来 描述：

cV d b hA d 0, 0

(3-1-8)

3-1 集总热容分析 其通解由相应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成，

hA cV b cV hA cV C b 根据初始条件可以确定积分常数 。整理后可得 hA即

C exp

hA b cV cV exp b hA cV hA

(3-1-9)

物体的温度响应(图3-1)由两部分组成。第一项随时间按指数规律

衰减，它在过程的初始阶段起重要作用，但时间足够长时该项逐 渐趋于零。此时过程进入“准稳态”阶段，物体的温度响应由第 二项决定，即随时间按线性变化，变化的速率与环境温度相同， 1 cV /(hA) 但与环境温度保持一个恒定的差值。时间常数对 过程有决定性的影响。τ1越大，式中第一项就衰减得慢，过程需 要较长的时间才进入准稳定阶段，同时物体与环境温度的差值也 越大。

3-1 集总热容分析

图3-1 环境温度按线性变化时集总热容物体的温度响应

3-1 集总热容分析 3-1-3 环境温度按简谐波变化 设环境温度按简谐波变化，其表达式为 t f t f Af cos( ) 其中Af为环境温度波的振幅，温度波的周期是 2

(3-1-10)

余温度

t tf

。引进过 。若物体的初始温度为t0,则该物体的温度响

/

应可用如下的常微分方程初值问题来描述：

cV d Af cos( ) hA d 0, 0 t0 t f

(3-1-11)(3-1-12)

3-1 集总热容分析 式(3-1-11)是一阶线性非齐次常微分方程，其通解由相应的齐次方

程的

通解和非齐次方程的一个特解组成。相应的齐次方程的通解 已由式(3-1-5)给出。设非齐次方程的特解具有以下的形式：

* B cos( ) (3-1-13) 其中B和φ 是两个待定的参数。将式(3-1-13)代入式(3-1-11),并记 cV /(hA) ,得 1

1 B sin( ) B sin( ) Af cos( ) (3-1-14) 上式左边可改写为 1 1 2 2 B 1 1 cos( ) sin( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 B 1 2 12 cos cos( ) sin sin( ) B 1 2 12 cos( )

3-1 集总热容分析 比较方程(3-1-14)的两边，可得

1 B arctan( 1 ) arccos 2 2 2 2 (3-1-15) 1 1 , 1 1 由初始条件可确定式中的常数： Af C 0 1 2 12 最后得到该问题的解为 Af Af ( 0 ) exp( ) cos[ arctan( 1 )] 2 2 1 2 12 1 1 1 (3-1-16)

Af

以上的解由两项组成。第一项随时间按指数规律衰减，时间足够

长时该项逐渐趋于零。此时薄壁物体的温度响应进入“准稳态” 阶段，反映为上式的第二项。准稳态阶段温度响应也是按简谐波 变化，其平均温度和变化周期都与环境温度相同。薄壁物体温度 波的振幅与环境温度波的振幅之比为 1 1 2 12 ;物体温度波的 arctan( 1 ) 。 相位落后于环境温度

3-1 集总热容分析

图3-2 环境温度技简谐波变化时集总热容物体的温度响应

3-1 集总热容分析 这种温度波振幅的衰减和相位的落后都与时间常数 1 cV /(hA)

有关，时间常数越大，这两个效应越显著。此外，以上结果也表 明，温度波的频率ω/2π对温度波振幅的减小和相位的落后也有同 样的效应。温度波的频率越高，物体中温度波的振幅就越小。环 境按简谐波变化时集总物体的温度响应见图3-2。 在工程和实际生活中环境温度近似地按周期变化的情况是较常见 的，如空气温度随昼夜的变化和发动机汽缸内气体 …… 此处隐藏：2207字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……