分段函数在高等数学中的应用分析

２００９年第８期

忌栽

分段函数在高等数学中的应用分析

辛春元

（辽宁对外经贸学院，辽宁大连１１６０５２）

摘要：高等数学的主要研究对象是函数，而分段函数作为一类比较特殊的函数，在许多方面都能较好地体现函数的性质，结合实例研究分段函数的极限、连续性、可导性、不定积分、定积分等几类问题，使我们更好地理解函数特性．

关键词：分段函数；极限；连续，导数；积分

高等数学研究的主要对象就是函数，所以函数在高等ｌｉｍ，（ｚ）≠ｌｉｍ，（ｚ），

数学教学中占有重要地位，而在高等数学教学中分段函数所以ｌｉｍ，（ｚ）不存在。

这类特殊占有一定的地位，而且也是学生掌握的重点和难又因为ｌｉｍ，（ｚ）一ｌｉｍ＝（上２＋１）＝２，

点。在我多年的教学实践中体会到，分段函数在高等数学中的应用往往难以被学生理解和掌握，始终是函数教学的ｌｉｍ厂（工）＝ｌｉｍ三＝２，

，，ｌ‘， ｌ‘Ｚ

难点。而一般的高等数学教科书对分段函数的有关知识阐ｌｉｍ，（ｚ）＝ｌｉｍ厂（ｚ），述甚少，更不用说如何结合有关知识对其进行处理和掌握了。本文结合实例就分段函数的概念，分段函数的极限与所以ｌｉｍ．厂（ｚ）＝２。连续性、可导性、不定积分、定积分等问题进行讨论分析，希１．２分段函数的连续性

望能对学生理解分段函数的应用有所帮助。

函数在一点连续的充要条件是：函数在在该点即左连续又有连续。

１分段函数的极限与连续

在这里我们主要研究利用上述结论怎样判断分段函数通常，分段函数每一段对应的表达式均为初等函数，因在分段点处的连续性。其步骤是：首先利用左右连续定义此每段表达式在其定义域内任一点处极限和连续性的讨论先判断一下左右连续情况，如果有一个是不连续存在（或其都可以采用初等函数的方法。所以，基于分段函数的特点。中左右极限又不存在，或函数在分段点处无定义），就可以讨论其极限的重点是要讨论其在定义域各段分界点处的左直接说明不连续；如果左右都连续，则根据连续的充要条件右极限，其在分界点处可以没有定义；讨论其连续性重点也可判断其连续。下面举一例子。

是讨论其在其定义域内各段分界点处的连续性，但其在分例２

讨论函数，

界点处必须要有定义。“工）：ｆ２：＋４“工’２１．１分段函数的极限

ｉｚ２一ｚ

ｚ置！，在点。；ｏ处的连续性。ｚ＜ｏ’在点。２０处的连续性

极限存在的充要条件是：函数在一点的左右极限存在解：，（。）在ｚ＝Ｏ处有定义，且，（Ｏ）＝４。而且相等。而在论分段函数的极限时，绝大多数都是讨论ｌｉｍ厂（ｚ）＝ｌｉｍ（≯一ｚ）一Ｏ，

其在分段点处的极限问题，因此我们可依据上述极限存在ｌｉｍ厂（ｚ）＝ｌｉｍ（２ｚ＋４）＝４，

ｌ＿Ｏ’

ｆ噜Ｏ’

充要条件来求分段函数在分段点处的极限。也就是先利用因此ｌｉｍ，（ｚ）≠ｌｉｍ，（工），

左右导数定义求出所求分段点处的左导数和右导数，然后所以

再利用上述结论判断该分段点的极限是否存在。下面举一Ｉｉｍ，（ｚ）不存在。

例子演示其过程。

所以点ｚ＝Ｏ是，（ｚ）的间断点。

例１设函数，

以上讨论需注意：在讨论极限时，分段点处可以没有

ｒ３ｚ＋２

ｚ≤Ｏ定义，而讨论连续时，分段点处必须有定义。

，（ｚ）：．｛≯＋ｌ

ｏ＜ｚ＜１。２分段函数的导数

Ｉ二

ｚ＞１

～

工

在高等数学中分段函数的导数讨论的不是很多，这里求ｌｉｍ厂（工）；ｌｉｍ，（工）．

我们主要讨论分段点处的导数，可以分两种情况讨论：

ｚ 。Ｏ

ｊ．．１

解：因为ｌｉｍ，（ｚ）＝ｌｉｍ（３ｚ＋２）＝２，

（１）函数在分段点处不连续：根据函数可导的必要条ｆ＿．０‘：－．Ｏ—

件，即如果函数ｙ＝，（ｚ）在洳处可导，则ｙ＝，（ｚ）在互。ｌｉｍ厂（ｏ）＝ｌｉｍ（ｚ２＋１）＝１，

连续。函数在分段点处不连续则必不可导．

作者简介：辛春元（１９７５一）。女，学士学位，辽宁对外经贸学院讲师，主要研究方向为高等数学．

一４１—

万方数据

忘裁

（２）函数在分段点处连续：这时由于分段函数在分段点

两端的表达式不一样 在分段点处两端的变化率塞的表达

式也将不一样，因此需用到单侧导数的概念。下面举一例

子。

例３讨论函数，

ｒ

ｚ—ｌ

ｚ≤Ｏ２ｚ

ｏ＜工≤１，（ｚ）２．｛工２＋１

１＜ｚ≤２『１

【寺工＋４

ｚ＞２

在点ｚ—Ｏ，ｚ＝１及ｚ＝２处的连续性与可导性。

解：

（１）在点ｏ＝Ｏ处，

．１ｉｍ，（工）＝ｌｉｍ（ｚ一１）＝一１，ｌｉｍ，（ｚ）＝ｌｉｍ２ｚ—Ｏ，ｌｉｍ，（工）≠ｌｉｍ，（工），

即ｌｉｍ，（。）不存在，因此，在点ｚ＝Ｏ处，（ｚ）不连续，从而在点ｚ＝Ｏ处也不可导。

（２）在点ｚ一１处，ｌｉｍ，（ｚ）＝ｌｉｍ２ｚ＝２，

ｌｉｍ，（ｚ）＝ｌｉｍ（ｚ２＋１）＝２，且，（１）＝２，于是，有丘优ｆ（ｘ）＝２一ｆ（１）。

ｆ（１）＝ｌｉｍ』鱼立掣一ｌｉｍ垒笠竿一２，

因此，在点ｘ一１处ｆ（ｘ）连续，

。

＾㈩＝卿畔一璺冬竿＿ｚ，

ｐｌ—

ｚ—ｌ

ｆ．１．工～ｌ

产（１）＝．４（１），所以，在。＝１处，（ｚ）可导，且／（１）

＝２。

（３）在ｚ＝２处，

１ｉｍ，（ｚ）一ｌｉｍ（。２＋１）＝５，

ｌｉ田，（ｚ）＝ｌｉｍ（÷ｚ＋４）＝５，且，（２）一５，

ｆ啼ｒ

ｔ＿．ｚ’

厶

／埘，＝婴学一婴哿字＝粤

于是，有ｌｉｍ厂（ｚ）一５＝厂（２）。

因此，在点ｚ一２处，（ｚ）连续，

专（ｚ～２）

１

ｆ（ｚ）≠厂十（２），／（２）不存在，因此，在点ｚ＝２处，

综上所述，函数，（ｚ）在点ｚ—ｏ处不连续也不可导，在万方数据

２００９年第８期

３分段函数的不定积分

处理分段函数的不定积分，关键在于注意原函数的连续性，也就是对各个区间段上不定积分包含的积分常数，考虑到使原函数在分界点上连续，即可按下列步骤进行：

（１）先分别求出各区间段上不定积分的表达式；

（２）由原函数的连续性确定出各积分常数的关系。下面举一例子。

例ｔ设几，＝（孟。三妻：，求弛，．～Ｓｌ般。Ｚ，Ｕ

解：，（ｚ）是／（ｚ）在区间（一ｏ。，＋ｏ。）的不定积分 所以，（ｚ）＝Ｉ厂（ｚ）ｄｚ，

当ｚ≤ｏ时，，（ｚ）＝ｌ工２ｄｚ＝÷ｚ３＋ｆｌ；

当工＞ｏ时，，（ｚ）＝ｌ

ｓｉｎ士ｄｚ一一ｃｏｓｚ＋ｃ２

Ｉ

因为不定积分只能含有～个任意常数，且，（ｚ）在区间（一。ｏ，＋ｏｏ）上可导，故在（一ｏｏ，＋。。）上必连续，根据这一点消去一个常数。

由，（工）在ｚ＝０处连续可得：ｌｉｍ，（ｚ）＝ｌｉｍ，（ｚ），

即Ｃｌ；一１＋Ｃ２，Ｃｊ一１＋Ｃ１

令Ｃ１＝Ｃ，

于是，（工）：ｊ寺≯＋ｃ以◇

。

【一ｃｏｓｚ＋１＋ｃ。ｚ＞ｏ

４分段函数的定积分

由定积分的可加性得知，分段函数的定积分是很容易 …… 此处隐藏：3423字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……