第六章-2 6.5模拟低通滤波器的设计

6.5、模拟原型低通滤波器设计

将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术 指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器

模拟滤波器

巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Ellipse 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器

模拟滤波器需要了解的知识

1、特性 2、参数选择 3、设计思想

1、由幅度平方函数 H a ( j ) 统函数 H a ( s)2 *

2

确定模拟滤波器的系

H a ( j ) H a ( j ) H a ( j ) H a ( j ) H a ( j )

h(t)是实函数

H a ( s) H a ( s)

s j

将左半平面的的极点归 H a ( s) 将以虚轴为对称轴的对称 零点的任一半作为 H a ( s) 的零点，虚轴上的零点一 半归 H a ( s)

由 H a ( j ) 确定H a ( s)的方法

2

将H a ( s) H a ( s) 因式分解，得到各零极点 对比 H a ( j )和 H a ( s) ,确定增益常数 由零极点及增益常数，得 H a ( s)

例： 已知幅度平方函数：16(25 2 ) 2 H a ( j ) ,求系统函数H a ( s) 2 2 (49 )(36 )2

解： H a ( s ) H a ( s ) H a ( j )极点：s 7, s 6 零点： s j 5(二阶)

2 2 s 2

16(25 s 2 ) 2 (49 s 2 )(36 s 2 )

H a ( s) 的极点：s 7, s 6零点： s j 5

设增益常数为K0

K 0 ( s 2 25) H a ( s) ( s 7)( s 6) 0

由H a ( s)

s 0

H a ( j )

,得K0 4

4( s 2 25) 4s 2 100 H a (s) 2 ( s 7)( s 6) s 13s 42

2、Butterworth 低通逼近幅度平方函数： H a ( j ) N为滤波器的阶数2

1 1 c 2N

c 为截止频率当 H a ( j c ) 1/ 2时2

H a ( j 0) 1 20lg 3dB H a ( j c )

称 c为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽

1)幅度函数特点：H a ( j ) 2

1 1 c 2N

(1) (2) (3) (4)

0 c

H a ( j ) 1 H a ( j ) 1/ 2 1 3dB 3dB不变性2

2

c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 c 过渡带及阻带内快速单调减小

2)幅度平方特性的极点分布：H a ( j ) 2

1 1 c 2N

H a ( j ) s / j H a ( s) H a ( s)

2

1 s 1 j c 2N

Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：

sk ( 1)

1 2N

j c c e

1 2 k 1 j 2 2N

k 1,2,...,2 N

极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 极点间的角度间隔为 / N rad 极点不落在虚轴上

N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点

3)滤波器的系统函数：

H a ( s)

N c

(s s )k 1 k

N

H a (0) 1

sk ce

1 2 k 1 j

2 2N

k 1,2,..., N

将左半平面极点给Ha(s)

幅度平方特性：

H a ( j )

2

1 1 c 2N

H a ( s)

N c

(s s )k 1 k

N

4)滤波器的设计步骤：

确定技术指标： p 1 s 2 根据技术指标求出滤波器阶数N:H a ( j p ) 2

由 1 20lg H a ( j p )

1 p 1 c 2N

p 得：1 c 同理：1 s c

2N

100.1 1N

2N

100.1 2

p 100.1 1 1 0.1 2 10 1 s

s 令 sp p

100.1 1 1 ksp 100.1 2 1

则：N

lg ksp lg sp

由N,直接查表得

H an ( s)

去归一化

s H a ( s ) H an c

其中技术指标 c 给出或由下式求出：

c p 100.1 1 1

1 2N

或

c s 100.1 2 12N

1 2N

p 得：1 c 同理：1 s c

100.1 1 100.1 2

2N

例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频 率低于 0.2 rad的通带内幅度特性下降小于1dB。 在频率 0.3 到 之间的阻带内，衰减大于15dB。 分别用冲激响应不变法和双线性变换法。 1、用冲激响应不变法设计 1)由数字滤波器的技术指标：

p 0.2 rad 1 1dB s 0.3 rad 2 15dB2)得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s

p p / T 0.2 rad / s 1 1dB s s / T 0.3 rad / s 2 15dB

3)设计Butterworth模拟低通滤波器 a)确定参数

sp s / p 1.5

100.1 1 1 ksp 0.092 0.1 2 10 1

N lg ksp / lg sp 5.884

取N 6

c p 10

0.1 1

1

1 2N

0.7032 rad / s