导数与函数的单调性、极值__系统复习

第11课时 导数与函数的单调性、极值

考情分析 从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函 数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点， 既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导 数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查 导数与函数单调性、极值，或方程、不等式的 综合应用.

温故夯基·面对高考

1.函数的单调性 (1)(函数单调性的充分条件)设函数y=f(x)在 某 个 区 间 内 可 导 ， 如 果 f′(x)>0 , 则 f(x) 为 单调递增 __________ 函 数 ； 如 果 f′(x)<0 , 则 f(x) 为 单调递减 __________函数. (2)(函数单调性的必要条件)设函数y=f(x)在 某个区间内可导，如果y=f(x)在该区间上单 f′(x)≥0 调递增(或递减),则在该区间内有_________ f′(x)≤0 (或____________).

x=a是函数y=f(x)的极小值满足的条件： ①:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小 ②: f′(a)=0 ③:在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 右侧 f′(x)>0 x=a是函数y=f(x)的极大值满足的条件： ①:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都大 ②: f′(a)=0 ③:在点x=a附近的左侧 f′(x)>0 右侧 f′(x)<0 极大值和极小值统称为极值

思考感悟导数为零的点都是极值点吗？

提示：不一定是.例如：函数f(x)=x3,有f′(0)=0,但x=0不是极值点.

考点突破求函数的单调区间 求函数单调区间的基本步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x); (3)由f′(x)>0或f′(x)<0,解出相应的x的范 围，当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函 数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函 数.

失误防范 1.利用导数讨论函数的单调性需注意的几 个问题 (1)确定函数的定义域，解决问题的过程中， 只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符 号，来判断函数的单调区间. (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定 使导数等于0的点外，还要注意定义区间内 的不连续点或不可导点. (3)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0) 是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分 条件.

由单调性确定参数范围

已知函数单调性，求参数范围.设函数f(x)在(a,b)内可导，若f(x)在(a,b)内 是增函数，则可得f′(x)≥0,从而建立了关于 待求参数的不等式,转为恒成立求解(参变分 离)同理，若f(x)在(a,b)内是减函数，则可得 f′(x)≤0.

已知f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调减区间； (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值 范围. 【思路分析】 (1)通过解f′(x)>0求单调递

增区间；(2)转化为恒成立问题，求a.

互动探究

在例2条件下,问是否存在实数a,使f(x)

在(-∞,0]上

单调递减，在[0,+∞)上单调递增？ 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

解：法一：由题意知ex-a≤0在(-∞,0]上恒成 立. ∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立. ∵ex在(-∞,0]上为增函数. ∴x=0时，ex最大为1. ∴a≥1.同理可知ex-a≥0在[0,+∞)上恒成立. ∴a≤ex在[0,+∞)上恒成立， ∴a≤1, 综上，a=1. 法二：由题意知，x=0为f(x)的极小值点. ∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.

求函数的极值 求可导函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x); (3)求方程f′(x)=0的根； (4)检验f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右两侧 的符号，如果在根的左侧附近f′(x)>0,右侧 附近f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个根处取 得极大值；如果在根的左侧附近f′(x)<0,右侧 附近f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个根处取得 极小值.

2.可导函数的极值

(1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某 一点的极小值也可能大于另一点的极大值， 也就是说极大值与极小值没有必然的大小关 系.

(2)若f(x)在(a,b)内有极值，那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或 减的函数没有极值.