同济六版线性代数试题及答案

同济六版线性代数试题

一、填空题(每小题 2分，共 14分) 1 A 1、设A是3阶矩阵，且 A ,是A的伴随矩阵，则： 2

(3 A) 2 A

1

16 27T

2、设四元非齐次线性方程组 Ax b的系数矩阵A的秩为3,且

1 (1,2,3,4), 2 (2,3,4,5)T

是该方程组的两个解，则

方程组 Ax b的通解为:

(1,2,3,4)T k (1,1,1,1)T, k R

3、已知三阶方阵A的特征值为1,-1,2,则矩阵 B A2 E的特征值为： 2,2,5, B

20

T T T ( 1, 1, 2 ), ( 1, 2, 3 ), ( 1, 3, t ), 4、设有向量组 1 2 3问t 4时向量组 1, 2, 3线性相关。

5、设3阶矩阵 A ( , 1, 2 ), B ( , 1, 2 ),且 A 3, B 5则 A B

32

2 0 0 2 0 0 6、已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0 y 0 相似， 0 0 1 0 1 x 则

x

0

y

1

7、已知实二次型

f ( x1, x2, x3 ) a( x x x ) 4 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x32 1 2 2 2 32经正交变换 x Py可化为标准形 f 12 y1,则a=

二、单项选择题(每小题2分，共10分) 1、若4阶矩阵A的元素均为1,则A的特征值为( B )

(A)1,1,1,1;(C)1,1,0,0;

(B)4,0,0,0;(D)1,0,0,0.

2、设A为m*n矩阵，且R(A)=m<n,则( D ) (A)A的任意m个列向量线性无关；

(B)A经过若干交初等行变换可化为(Em,0)的形式；(C)A中任一m阶子式为零； (D)Ax=0必有无穷多解。

3、设A为n阶方阵，则方阵((A)A-AT;

C )为对称矩阵。

(B)CACT(C为任意n阶矩阵)

(C)AAT;

(D)(AAT)B (B为任意n阶对称矩阵)

4、设A为n阶方阵，且 A a 0,则 A ( A )

( A) a

n 1

1; ( B); (C ) a; ( D)a n . a

5、设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有(A )

(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；(B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； (D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关；三、计算行列式(每小题5分，共10分)

1、D

4 3

1 1

0 1

5 2

2 0 6 4 2 5 3 2

218

1 a1 1 1 1 1 a2 1 1 1 a3 2、Dn 1 1 1 1其中 ai 0 (i 1,2, , n)

1 1 1

1 an

1 n (1 ) ai i 1 ai i 1n

四、完成下列各题(1、2小题3分，3题4分，共10分) 1、已知n阶矩阵A满足A2+2A-3E=0,试证：A+4E可逆，并求出(A+4E)-1. ( A 4 E )( A 2 E ) 5E

1 ( A 4 E )[ ( A 2 E )] E 5

2、已知向量组 1, 2, 3线性无关，试证向量组：线性无关。

1 1 2 2 3, 2

1 2 3, 3 1 2,

3、设4阶方阵A满足条件 3E 2 A 0, AAT 2E, A 0求A的伴随矩阵 A 的一个特征值。

五、解矩阵方程(满分7分)

2 2 1 设矩阵 A 3 6 3 且 AB A B,求矩阵B。 1 2 3

六、(满分9分)

x1 x2 x3 x4 1 x x 2x 1 2 3 4设有线性方程组 2 x1 3x2 (a 2) x3 4 x4 b 3 3x1 5 x2 x3 (a 8) x4 5问当a,b取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解，并求有无穷多解时的通解。

七、(满分10分)求一正交变换 x Py,将二次型

f ( x1, x2, x3 ) x 4 x 4 x 4 x1 x2 4 x1 x3 8x2 x32 1 2 2 2 3

化为标准形。八、(每小题5分，满分10分)

2 x1 2 x2 x3 0 1、设线性方程组 x1 x2 2 x3 0的系数矩阵A,三阶 x x 3 x 0 3 1 2矩阵B不等于零，且AB=0,试求 的值，并证明 B 0

1 0 1 2 B ( kE A ) 2、设矩阵 A 0 2 0 ,矩阵，其中k为 1 0 1 相似，并求k为何值时，B为正定矩阵。

实数，E为3阶单位阵，试求对角矩阵 ,使B与对角阵

四、2)证：设有数 k1, k 2, k3使得 k1 1 k2 2 k3 3 0即： k1 ( 1 2 2 3 ) k2 ( 1 2 3 ) k3 ( 1 2 ) 0整理得：(k1 k2 k3 ) 1 (k3 k2 k3 ) 2 ( 2k1 k2 ) 3 0国为向量组 1, 2, 3线性无关，所以

k1 k 2 k3 0 k1 k 2 k3 0 2k k 0 1 2 由此求方程组的系数行列式

只有惟一零解，所以线性无关。

1 1

1 1 1 1 4 0

2 1 0

3四、3)解：由 3E 2 A 0可知 是A的一个特征值。 2

AA 2ET

所以 A 2 E 24 16

2

而因为 A 0故 A 4若 是 A的一个特征值，则

A

4 8 从而有是的一个特征值。 A 3 3 2

是 A 的特征值。

第七题、

p p1, p2, p3

2 5 1 5 0

2

3 5 4 3 5 5 3 5

1 3 2 3 2 3

f 9y

2 3

八、1)解：

2 2 1 A 1 2 0, B 0 1 1 3 并且 AB 0, R( A) 3, R( B) 3A 0, 1因为1)可知 R( B) 3, B 0

八、2)解：

10 1

E A

0 2 0

1 2 0 2

1

所以，A的特征值为 1所以，B的特征值为

0, 2 3 2.

k 2, k 2 4k 4, k 2 4k 4. 则B与 相似， 当 k 0且k 2时 2 (k 2) 特征值都大于0,并且 T B B所以为正

定阵。

k 2

(k 2)

2