工程流体力学放映第5、6章

第五章实际流体 动力学基础2013-8-18 1

学习重点

掌握实际流体能量方程、动量方程； 掌握流体运动总流的分析方法，能熟练运用 三大运动方程解决实际问题； 了解N—S 方程。

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学习内容

伯努利方程 动量方程 (能量方程)

实际流体运动微分方程

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§5—1

实际流体运动微分方程

一、以应力表示的实际流体运动微分方程 1、方程推导依据： 牛顿第二定律： 2、分析受力： 因为是实际流体，故运动流体的表面力既有 压应力(动压强)也有切应力。2013-8-18 4

F = m a

以 y 方向为例：τzy

设M点的相应要素为： py ,

uy ,

τzy , τxyE

与 Z 轴垂直的平面 上，沿 y 方向。

τzxH M F Z

τzyG

D

s τxy

t

τzyA y

τzxB

C

与 x 轴垂直的平面上，沿 y 方向。2013-8-18

x

(1)质量力：

fyρdx dy dz 压力 ： p ( ps pt )dxdz dxdydz y

(2)表面力：

切应力(四个表面) :ABGHCDEF ABCF H

E

τzxs F M

τzyG t

D

GDEH

Z

A

τzyy

τzxB

C

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x

切应力(四个表面) :

ABGH:

1 xy ( xy dx)dydz 2 x1 xy ( xy du dx)dydz F m a 2 xy my y

将以上所有的力代入

CDEF:

dt

1 zy 整理即可得实际流体运动微分方程。 ( zy dz)dydx GDEH: 2 z

ABCF:2013-8-18

1 zy ( zy dz)dydx 2 z7

3、公式：

p x yx zx dux fx ( ) x y z dt 1 1 p y y xy x zy z duy dt

式5—1

fy

1

(

)

p z xz yz duz fz ( ) z x y dt2013-8-18 8

对于不可压缩均质流体，ρ= c,而 fx,fy,fZ 通常是已知的, 故在三个方程中有九个表面应力、 三个速度分量，共十二个未知量，既使加上连续 性微分方程(四个方程，解十二个未知量),也 无法求得唯一的解，所以还应再找出其它的关系。

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二、流体质点的应力状态 1、切应力的特性：

yx xy

u x ( ) x y u z u y ( ) y z u z u x ( ) x z

u y

实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦 定律。

式5—3

yz zy

zx xz2013-8-18

2、压应力的特性和大小： px= p+ px’ p y= p+ py’

p ——平均压应力 p = 1 (px+py+pz ) 3 切应力互等定律。原

pz= p+ pz’

方程减少3个变量。

因为实际流体运动存在切应力，故各方位的压应力不 尽相等，可取其平均值，每个方向上的压应力均可看

作由均值 p 加上附加压应力 px’ 、 py’ 、 pz’ 。 2013-8-18

u x p 2 2 xx x x p y 2 u y y 2 yy

u x px p 2 x

p y p 2 u y y

u z p 2 2 zz z z式 5—2013-8-18

u z pz p 2 z式 5—512

4

三、N—S 方程 将以上关系式5—3、5—5代入实际流体运动微分方程 5—1,结合不可压缩、均质流体连续性微分方程整理即可 得N—S方程(p166 此 N—S方程 共 5—6式)。

+ 连续性微分方程

4 个方程，解 4 个未知量。

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四、实际流体运动微分方程积分

1、积分条件：(1) 作用于流体上的力是有势的力：fx w x fy w y fz w z

(2)

流体的流动为恒定流： u x u y u z 0 t t t

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(3)

沿流线积分(即沿迹线积分):

dx u x dt dy u y dt dz u z dt(4) 作用于流体上的力只有重力。

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2、积分式： 不可压缩、均质、恒定、实际流体伯诺里方程。

u p2 u z1 z2 hw 2g 2g

p1

2 1

2 2

5—13式

同一条流 线上的任意两点， 满足上式。2013-8-18 16