3.3随机模拟方法-概率的应用

了解随机数和均匀随机数的产生,体会用 随机模拟方法近似计算概率及不规则图形的面积.

随机模拟方法概率的应用

了解随机数和均匀随机数的产生,体会用 随机模拟方法近似计算概率及不规则图形的面积.

小知识用计算机或计算器模拟试验的方法称为 随机模拟方法,也称为蒙特卡罗方法.该方法 是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的 ,它的奠基人是冯.诺伊曼.

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例1.天气预报说,在今后的3天中,每一天下雨 的概率均为0.4.求这3天中恰有2天下雨的概率. 分析:试验的结果有有限个,但每个结果出现 的可能性不同,因此不能用古典概率计算.

解:(1)用计算产生0~9之间取整数值的随机数;(2)用0,1,2,3,表示下雨,4,5,6,7,8,9表示不下雨, 这样可以体现下雨的概率为0.4; (3)每3个数作为一组,数出其中恰有2个数在 0,1,2,3中的组数m及试验总次数n; (4)求得概率的近似值m/n.

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例2.假设每个人在任何一个月出生是等可能 的,用随机模拟方法,估计在一个有10个人的集 体中至少有两个人的生日在同一个月的概率. 解:(1)用计算产生1~12之间取整数值的随机 数;

(2)每10个数作为一组,数出其中至少有2个数 相同的组数m及试验总次数n; (3)求得概率的近似值m/n.

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例3.在正方形内随机撒一把豆子,用随机模拟 方法估计圆周率的值. Y 分析:随机撒一把豆子,每个豆 子落在正方形内任一点是等可 能的,落在每个区域的豆子数 与这个区域的面积近似成正比,-1 O 1 X

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解 : (1)用计算机产生两组0 ~ 1之间的 均匀随机数,a1 RAND, b1 RAND; (2)进行平移和伸缩变换,a (a 1 0.5) 2, b (b1 0.5) 2; (3)数出落在圆内的样本点数m及试验的 总次数n; 4m (4)计算 . n

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例4.用随机模拟方法近似计算图形: y x 1与y 6所围成区域的面积.2Y

y x 12

y 6O X

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解 : (1)用计算机产生两组0 ~ 1之间的 均匀随机数,a1 RAND, b1 RAND;(2)进行平移和伸缩变换,a ( a 1 0.5) 2 5, b (b1 0.2) 5;

(3)数出落在所求图形内的样本点数m 及试验的总次数n; 10 5m (4)计算S . n

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小结了解随机数和均匀随机数的产生,体会用 随机模拟方法近似计算概率及不规则图形的 面积.

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2、区域是平面图形的几何概型问题设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的 4 边长都是6.现用直径为2的硬币投掷到此网格 上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率. 9 变形1:求硬币落下后与格线有公共点的概率. 变形2: 设有一个正方形网格,现用直径为2的 硬币投掷到此网格上,方格边长要多少才能 使硬币与格线没有公共点的概率大于0.04. 提示: 边长大于2.5

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2、区域是平面图形的几何概型问题Bertrand 问题

已知半径为 1 的圆的内接等边三角形 边长是 3 1/2 ,在圆内随机取一条弦，求 弦长超过 3 1/2 的概率。BD

A

p = 1/4