考研数学线性代数概念、性质、定理、公式整理2

⑨r(A B)≤r(A) r(B) max r(A),r(B) ≤r(A,B)≤r(A) r(B) p教材70 ⑩r

A O

O O B B

A A

r(A) r(B)r

O O

C

r(A) r(B) B

当A为方阵时

Ax 有无穷多解 A 0

n 表示法不唯一

1, 2, , n线性相关 Ax 0有非零解

可由 1, 2, , n线性表示 Ax 有解 r(A) r(A )

当A为方阵时

Ax 有唯一组解 A 0 克莱姆法则

n 表示法唯一

1, 2, , n线性无关 Ax 只有零解

r(A) r(A )

不可由 1, 2, , n线性表示 Ax 无解 r(A) r(A ) 教材72

r(A) 1 r(A )

讲义87

Ax

有无穷

多解

注：○

其导出组有非零解

Ax 有唯一解

其导出组只有零解

Ax x1 1 x2 2 xn n a11

a21

A

am1

a12a22 am2

a1n 1j x1 b1

a2nx2b2

,x , 2j

j

amn xb n m mj

,j 1,2, ,n

x1 x2 ( 1, 2, , n) xn

8

9

(1) 1, 2是Ax 的解, 1 2也是它的解 (2) 是Ax 的解,对任意k,k 也是它的解

齐次方程组

(3) , , , 是Ax 的解,对任意k个常数

12k

1, 2, , k, 1 1 2 2 k k也是它的解

线性方程组解的性质： (4) 是Ax 的解, 是其导出组Ax 的解, 是Ax 的解

(5) 1, 2是Ax 的两个解, 1 2是其导出组Ax 的解

(6) 2是Ax 的解,则 1也是它的解 1 2是其导出组Ax 的解

(7) 1, 2, , k是Ax 的解,则

也是Ax 的解 1

1122kk12k

1 1 2 2 k k是Ax 0的解 1 2 k 0

√ 设A为m n矩阵,若r(A) m r(A) r(A ) Ax 一定有解，

方程个数向量维数

未知数的个数向量个数

当m n时,一定不是唯一解 ,则该向量组线性相关.

m是r(A)和r(A )的上限.

√ 判断 1, 2, , s是Ax 的基础解系的条件： ① 1, 2, , s线性无关； ② 1, 2, , s都是Ax 的解；

③ s n r(A) 每个解向量中自由未知量的个数.

√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.

√ 若 是Ax 的一个解， 1, , , s是Ax 的一个解 1, , , s, 线性无关

√ Ax 与Bx 同解（A,B列向量个数相同）,则：

① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.

A

r(A) r(B). B

√ 两个齐次线性线性方程组Ax 与Bx 同解 r

√ 两个非齐次线性方程组Ax 与Bx 都有解，并且同解 r

A

r(A) r(B). B

√ 矩阵Am n与Bl n的行向量组等价 齐次方程组Ax 与Bx 同解 PA B（左乘可逆矩阵P）；p教材101 矩阵Am n与Bl n的列向量组等价 AQ B（右乘可逆矩阵Q）. √ 关于公共解的三中处理办法：

① 把(I)与(II)联立起来求解；

② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；

当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设 1, 2, 3是(I)的基础解系, 4, 5是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解 基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.

即：r( 1, 2, 3) r( 1, 2, 3 c1 4 c2 5)

当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设 1 c1 1 c2 2是(I)的通解， 2 c3 3是(II)的通解，两方程组有公共解 2 c3 3 1可由 1, 2线性表示. 即：r( 1, 2) r( 1, 2 2 c3 3 1)

③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共

解。

n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

n

( ,

)

ab

i

i 1

i

( , ) 0. 记为：

n

a

i 1

2

i

1. 即长度为1的向量.

√ 内积的性质： ① 正定性：( , ) 0,且( , ) 0 ② 对称性：( , ) ( , )

③ 双线性：( , 1 2) ( , 1) ( , 2) ( 1 2, ) ( 1, ) ( 2, )

(c , ) c( , ) ( ,c )

E A.

E A ( ).

√ ( )是矩阵A的特征多项式 (A) O

E A 0. Ax x (x为非零列向量) Ax与x线性相关

n

√ A 1 2 n i trA，trA称为矩阵A1

√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.

√ 若A 0,则 0为A的特征值,且Ax 的基础解系即为属于 0的线性无关的特征向量. a1 a2 √ r(A) 1 A一定可分解为A= an

b, 1

b2,

,

bn 、A2 (a1b1 a2b2 anbn)A,从而A的特征值为：

1 trA a1b1 a2b2 anbn, 2 3 n 0 p指南358.

注 a,a, ,a 为A各行的公比， b,b, ,b 为A各列的公比. ○12n12n

T

√ 若A的全部特征值 1, 2, , n，f(A)是多项式,则:

① 若A满足f(A) O A的任何一个特征值必满足f( i) 0

②f(A)的全部特征值为f( 1),f( 2), ,f( n)；f(A) f( 1)f( 2) f( n).