1992年全国高中数学联赛试题及解答

全国高中数学联赛试题及解答

1992年全国高中数学联赛试卷

第一试

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2 (2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+ +|A1992B1992|的值是( ) 1991199219911993

(A) (B) (C) (D)

1992199319931992

2．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( ) (A)(x+ (C)(x+

1－y2)(y+1－y2)(y

1－x2)=0 (B)(x 1－x2)=0 (D)(x1－y2)(y 1－y2)(y+

1－x2)=0 1－x2)=0

3．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(

ΣS)/S，则λ一定满

i

4

i=1

足( )

(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ<5.5

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b 1)，且，log

AsinA4)的根，则△ABC( )

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形

CsinB

b

x=logb(4x－

5．设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12 2z1z2+z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) (A3 (B)4

3 (C)6

3 (D)12

3

6．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10 x)， f(20 x)= f(20+x)，则f(x)是

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(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数 二、填空题(每小题5分共30分)

111xz

1．设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且成等差数列，则+______．

xyzzx

2．在区间[0， ]中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是______．

3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____．

4．设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则arg(3的值是______．

z2z1

5．设数列a1，a2， ，an， 满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n， 都有anan+1an+2 1，又

anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+ +a100的值是____．

6．函数f(x)=

x4－3x2－6x+13－x4－x2+1的最大值是_____．

三、(20分)求证：16<

Σ

i=1

4

1

k

<17．

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四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线

AD，BE，CF7，垂足依次是D，E，F，已知15，BE=2

CF=10，求l与m的距离．

n+1－－1

1

五、(20分)设n是自然数，fn(x)=

xx－nx－x－1

(x 0，±1)，令y=x+x

．

1.求证:fn+1(x)=yfn(x) fn-1(x)，(n>1) 2.用数学归纳法证明：

yn

－C1

ni

n

n

－2in－1

y+…+(－1)Cn－2in－i y+…+(－1)2，(i=1，2，…， 2

，n为偶数)

fn

(x)=

yn

－C1

i

n－1n－1

n－1

yn－2+…+(－1)iCn－i+…+(－1)2

n2

+1y，(i=1，2，…，n－1

n为奇数)

2

2

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第二试

一、(35分) 设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．

二、(35分) 设集合Sn={1,2, ,n}．若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集． 1．求证Sn的奇子集与偶子集个数相等．

2．求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 3．当n≥3时，求Sn的所有奇子集的容量之和．

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三、(35分)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点

Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足 (1) |xi|≤2,|yi|≤2,(i=1,2,3,4,5,6)，(2) 任何三点不在同一条直线上．试证：在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于2．

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1992年全国高中数学联赛解答

第一试

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2 (2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+ +|A1992B1992|的值是( ) 1991199219911993

(A (B) (C) (D)

1992199319931992

1992解：y=((n+1)x－1)(nx－1)，∴ |AnBn|=－|A1B1|+|A2B2|+ +|A1992B1992|=，选B．

nn+119932．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( ) (A)(x+ (C)(x+

解：(x

1－y2)(y1－y2)(y

1－x2)=0 (B)(x 1－x2)=0 (D)(x

1－y2)(y 1－y2)(y+

1－x2)=0 1－x2)=0

11

1－y2)=0表示y轴右边的半圆，(y+1－x2)=0表示x轴下方的半圆，故选D．

3．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(

ΣS)/S，则λ一定满

i

4

i=1

足( )

(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ<5.5

解：

ΣS≤4S，故ΣS≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时，ΣS接近2S，故选A．

i

i

i

444

i=1i=1i=1

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b 1)，且，log

AsinA4)的根，则△ABC( )

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形

解：x2=4x－4．根为x=2．∴ C=2A， B=180°－3A，sinB=2sinA． sin3A=2sinA，

CsinB

b

x=logb(4x－

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3－4sin2A=2．A=30°，C=60°，B=90°．选B．

5．设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12 2z1z2+z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) (A3 (B)4

3 (C)6

3 (D)12

3

2z1ππ13解：cos±isinz2|=8，z1、z2的夹角=60°．S==8

z23322

3．选A．

6．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10 x)， f(20 x)= f(20+x)，则f(x)是

(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数 解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)． ∴ f(40+x)=f …… 此处隐藏：7319字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……