5-3 参变量函数的导数

§3 参变量函数的导数平面曲线通常用方程 y f (x) 或 F (x, y) 0 来表示; 一般情形下则采用参数方程x x(t ) , y y(t ), t I .

这样做最明显的好处, 是能方便地推广 为多维空间的情形, 例如 R 3 中的曲线:x x(t ), y y(t ) , z z(t ) , t I .

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设平面曲线 C 的参数方程为 x (t ), t . y (t ), (1 )

如果函数 x

( t ) 有反函数 t y ( 1

1

( x ),

则 (1) 式可 由此说明

确定复合函数

( x)) f ( x) .

平面曲线两种方程之间的联系. 这种由参数方程 (1) 所表示的函数, 称为参变量函 数.如 果 ( t ), ( t ) 都 可 导 , 且 ( t ) 0 ,

根据复合

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函数和反函数的求导法则, 得到dy dx dy dt dt dx dy dt dx dt

( t ) ( t )

.

(2)

(2) 式的几何意义如下: 设由 (1) 式表示的曲线 C在 点 P ( ( t 0 ), ( t 0 ))

处有切线. 过点

P

及邻近点

Q ( ( t 0 Δ t ), ( t 0 Δ t ) ) 的割线 P Q 的斜率为Δy Δx

( t0 Δ t ) ( t0 ) ( t0 Δ t ) ( t0 )

,

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如果 ( t ), 的斜率为ta n lim

( t ) 在 点 t0

可导， ( t 0 )

0,

则切线

Δy Δx

Δ t 0

lim

[ ( t 0 Δ t ) ( t 0 )] Δ t [ ( t 0 Δ t ) ( t 0 )] Δ t

t 0

( t 0 ) ( t 0 )

,

其中 是切线与 x 轴正向的夹角 ( 见下页图 ) .当 ( t 0 ) 0 时 ,

有cot

( t 0 ) ( t 0 )

.

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yQ Δ yΔx

P

C

O

x

若 , 在 [ , ]

上都存在连续导数,且

2 2 (t ) (t ) 0 ,

则称曲线 C 为光滑曲线. 光滑曲线的每一点都存在前页 后页 返回

切线, 且切线与 x 轴正向的夹角 ( t ) 是 数.

t的连续函

例1 求由参数方程 x a cos t , y b sin t , t (0, π)y f (x)

( 这是上半椭圆方程 ) 所确定的函数 导数, 并求此椭圆在 t 解 由公式 (2) 得到 π 4

的

处的切线方程.

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dy dx

dy dt

dx dt

( b sin t ) ( a co s t )

b a

co t t ,

dy dxt π 4

b a

.

故所求切线为:y 2b 2 b a ( x 2a 2 ).

例2 若曲线

C

由极坐标方程 ( ) 给出, 则

可以把它转化成以极角 为参数的参数方程 x ( ) co s , y ( ) sin .

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如果 dy dx

dx d

,

dy d

存在, 且

dx d

0,

则

( ( ) sin ) ( ( ) co s )

( ) sin ( ) co s ( ) co s ( ) sin

( ) ta n ( ) ( ) ( )

ta n C

.T

(3)

(3) 式表示的是曲线 ( )在 点 M ( , ) 处

H

的切O

M

线 MT 与极轴 Ox 的

x

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夹角

的 正 切 ta n .

过 M 的射线 OH ( 即点M的

向径 ) 与切线 MT 的夹角 的正切是ta n ta n ( ) ta n ta n 1 ta n ta n . (4)

将 (3) 式代入 (4) 式, 化简后可得ta n

( ) ( )

.

(5)

例3 证明对数螺线 径的夹角 是常数.

e

2

上所有点处的切线与向

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证

因为对每一 值 ,

ta n

( ) ( )e 1 2 2 2

TH

e

2

M

e

O

1

x

2,

所以这条曲线上任一点的切线与向径的夹角等于常 数 a r c ta n 2 .

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