同济大学_高等数学公式大全(2)

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

x (t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　( t ),则：

y (t)

L

x t22

f(x,y)ds f[ (t), (t(t) (t)dt　　( )　　特殊情况：

y (t)

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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： x (t)设L的参数方程为，则：

y (t)

P(x,y)dx Q(x,y)dy {P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt

L

两类曲线积分之间的关系： Pdx Qdy

L

(Pcos Qcos )ds，其中 和 分别为

L

L上积分起止点处切向量的方向角。

Q P Q P

格林公式：( )dxdy Pdx Qdy格林公式：( )dxdy x y x yDLD Q P当P y,Q x 2时，得到D的面积：A

x y·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！

·二元函数的全微分求积：

Q P在＝时，Pdx Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：

x y

(x,y)

Pdx Qdy

L

dxdy 2xdy ydx

D

L

1

Q P

＝。注意奇点，如(0,0)，应 x y

u(x,y)

(x0,y0)

P(x,y)dx Q(x,y)dy，通常设x

y0 0。

曲面积分：

对面积的曲面积分： f(x,y,z)ds

Dxy

f[x,y,z(x,y22 zx(x,y) zy(x,y)dxdy

对坐标的曲面积分：，其中： P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy

，取曲面的上侧时取正号； R(x,y,z)dxdy R[x,y,z(x,y)]dxdy

Dxy

，取曲面的前侧时取正号； P(x,y,z)dydz P[x(y,z),y,z]dydz

Dyz

号。 Q(x,y,z)dzdx Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正

Dzx

两类曲面积分之间的关系： Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds

高斯公式：

(

P Q R

)dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds x y z

高斯公式的物理意义——通量与散度：

P Q R

散度：div ,即：单位体积内所产生的流体质量，若div 0,则为消失...

x y z

通量： A nds Ands (Pcos Qcos Rcos )ds， 因此，高斯公式又可写成：divA dv Ands

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斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

(

R Q P R Q P )dydz ( )dzdx ( )dxdy Pdx Qdy Rdz y z z x x y

cos

yQ

cos zR

dydzdzdxcos

上式左端又可写成： x y z x

PQRP

R Q P R Q P

空间曲线积分与路径无

y z z x x yijk

旋度：rotA

x y zPQR

向量场A沿有向闭曲线 Pdx Qdy Rdz A tds

常数项级数：

1 qn等比数列：1 q q q

1 q(n 1)n

等差数列：1 2 3 n

2

111

调和级数：1 是发散的

23n

2

n 1

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）： 1时，级数收敛

设： limnun，则 1时，级数发散

n

1时，不确定

2、比值审敛法：

1时，级数收敛

U

设： limn 1，则 1时，级数发散

n Un 1时，不确定

3、定义法：

sn u1 u2 un;limsn存在，则收敛；否则发散。

n

交错级数u1 u2 u3 u4 (或 u1 u2 u3 ,un 0)的审敛法——莱布尼兹定理： un un 1如果交错级数满足s u1,其余项rnrn un 1。 limu 0，那么级数收敛且其和

n n

绝对收敛与条件收敛：

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(1)u1 u2 un ，其中un为任意实数；(2)u1 u2 u3 un

如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1( 1)n调和级数： n发散，而 n1

　　级数： n2收敛；

１时发散1

　　p级数： npp 1时收敛

幂级数：

1

x 1时，收敛于

1 x1 x x2 x3 xn x 1时，发散

对于级数(3)a0 a1x　 a2x2 anxn ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

x R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使x R时发散，其中R称为收敛半径。

x R时不定

1

0时，R

求收敛半径的方法：设lim

n

an 1

，其中an，an 1是(3) 0时，R an

时，R 0

函数展开成幂级数：

f (x0)f(n)(x0)2

函数展开成泰勒级数：f(x) f(x0)(x x0) (x x0) (x x0)n

2!n!

f(n 1)( )

余项：Rn (x x0)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn 0

n (n 1)!f (0)2f(n)(0)n

x0 0时即为麦克劳林公式：f(x) f(0) f (0)x x x

2!n!

一些函数展开成幂级数：

m(m 1)2m(m 1) (m n 1)n

x x 　　　( 1 x 1)2!n!

352n 1xxx

sinx x ( 1)n 1 　　　( x )

3!5!(2n 1)!(1 x)m 1 mx

欧拉公式：

eix e ix

cosx 2

eix cosx isinx　　　或 ix ix

sinx e e 2

三角级数：

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a0

(ancosnx bnsinnx)2n 1n 1

其中，a0 aA0，an Ansin n，bn Ancos n， t x。

f(t) A0 Ansin(n t n)

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积在[ , ]上的积分＝0。

傅立叶级数：

a0

f(x) (ancosnx bnsinnx)，周期 2

2n 1

1

f(x)cosnxdx　　　(n 0,1,2 ) an

其中

b 1f(x)sinnxdx　　　(n 1,2,3 ) n

11 2

1 2 2

835

　111 2

24224262

正弦级数：an 0，bn 余弦级数：bn 0，an

111 2

1 2 2 2 6234

111 2

1 2 2 2 122342

2

f(x)sinnxdx　　n 1,2,3 　f(x) b

n

sinnx是奇函数

f(x)cosnxdx　　n 0,1,2 　f(x)

a0

ancosnx是偶函数2

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

a0n xn x

f(x) (ancos bnsin)，周期 2l

2lln 1l 1n x

dx　　　(n 0,1,2 ) an f(x)cos

ll l

其中 l

b 1f(x)sinn xdx　　　(n 1,2,3 ) nl l l

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y f(x,y)　或　P(x,y)dx Q(x,y)dy 0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy f(x)dx的形式，解法：

g(y)dy f(x)dx　　得：G(y) F(x) C称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方dyy

f(x,y) (x,y)，即写成的函数，解法：dxx

ydydududxduy

设u ，则 u x，u (u)， 代 …… 此处隐藏：1827字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……