人教A版数学选修4-4检测：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛

1 第二讲 参数方程

二、圆锥曲线的参数方程

第2课时 双曲线的参数方程和抛物线

的参数方程

A 级 基础巩固

一、选择题

1．下列不是抛物线y 2＝4x 的参数方程的是( )

A.?

????x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数) B.???x ＝t 24，y ＝t (t 为参数) C.?????x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数) D.?

????x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数) 解析：逐一验证知D 不满足y 2＝4x .

答案：D

2．方程?

????x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t －e －t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支

B ．双曲线右支

C ．双曲线上支

D ．双曲线下支

解析：因为x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4， 且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2，

所以表示双曲线的右支．

答案：B

2 3．下列双曲线中，与双曲线?????x ＝3sec θ，y ＝tan θ

(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )

A.y 23－x 29

＝1 B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23

－x 2＝－1 解析：双曲线的普通方程为x 23

－y 2＝1， 离心率为23＝233，渐近线为y ＝±33x . B 中y 23－x 29＝－1，即x 29－y 2

3

＝1. 其离心率为

233，渐近线为y ＝±33

x ，故选B. 答案：B

4．点P (1，0)到曲线?????x ＝t 2，y ＝2t (参数t ∈R)上的点的最短距离为( )

A ．0

B ．1 C.2 D ．2

解析：设Q (x ，y )为曲线上任一点，则d 2＝|PQ |2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2.

由t 2≥0得d 2≥1，所以d min ＝1.

答案：B

5．若曲线?

????x ＝sin 2 θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同的两点，则m 的取值范围是( )

A ．(－∞，＋∞)

B ．(0，＋∞)

C ．(0，1)

D ．[0，1)

3 解析：将曲线?????x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1

化为普通方程得(y ＋1) 2＝－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，

由数形结合知0≤m <1.

答案：D

二、填空题

6．双曲线?????x ＝3sec 2，y ＝tan 2

的顶点坐标为________． 解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x 轴，且a ＝3，故顶点坐标为(±3，0)．

答案：(±3，0)

7．如果双曲线?

????x ＝sec θ，y ＝6tan θ(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点距离是________．

解析：由双曲线参数方程可知a ＝1，

故P 到它左焦点的距离|PF |＝10或|PF |＝6.

答案：10或6

8．设曲线C 的参数方程为?????x ＝t ，y ＝t

2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．

解析：?

????x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，

4 由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，

所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.

答案：ρcos 2θ－sin θ＝0

三、解答题

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?????x ＝t ＋1，y ＝2t

(t 为参数)，曲线C 的参数方程为?

????x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．

解：因为直线l 的参数方程为?????x ＝t ＋1，y ＝2t .

所以消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0.①

同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x .②

①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，? ??

??12，－1. 10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．

解：设抛物线的参数方程为?

????x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)， 可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)，

则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2

. 又设MN 的中点为P (x ，y )，

则???

x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.

5 所以k AP ＝4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22）－1

. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18

， 又?????x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2

）， 则y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16? ??

??x 4－14＝4(x －1)． 所以所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．

B 级 能力提升

1．P 为双曲线?

????x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )

A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)

B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)

C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)

D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)

解析：由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5，

故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，

设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则

x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43

sec θ， y ＝0＋0＋3tan θ3

＝tan θ. 从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)．

答案：A

2．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ

6 ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为?????x ＝t 2，y ＝22t

(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．

解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方

程为y 2

＝8x ，由?????x ＋y ＝－2，y 2＝8x 得?????x ＝2，y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．

答案：(2，－4)

3．已知直线l 过点A (1，0)，抛物线C 的方程为y 2＝8x ，若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．

解：设抛物线的参数方程为?

????x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)， 可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)，

则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2

. 又设MN 的中点为P (x ，y )，

则???

x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.

所以k AP ＝4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22

）－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18

， 又?

????x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2）， 则y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16? ??

??x 4－14＝4(x －1)． 所以所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．

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