2模糊控制的数学基础 (2)

智能控制北京理工大学自动化学院 sunjian@ 孙 健

第二章 模糊控制的数学基础

概述 模糊集合 模糊集合与普通集合的联系 隶属函数 模糊关系与模糊关系合成 模糊逻辑与模糊推理

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2.1 概述 引子 谷堆论证——欧布利德

秃头悖论 模糊概念 模糊的英文为Fuzzy,它具有“不分明”,“边界不清” 的意思。模糊数学是用来描述、研究、处理事物所具 有的模糊特征(即模糊概念)。 模糊数学(模糊集)是模糊控制的数学基础，它是由 美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。 模糊概念大量存在于人的观念之中：Page 3

2.1 概述 模糊概念大量存在于人的观念之中： 没有明确外延的概念 概念本身具有开放性

概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围， 概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属 性的总和

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2.1 概述 模糊概念

天气冷热

雨的大小

风的强弱

人的胖瘦

年龄大小Page 5

个子高低

2.1 概述 模糊性与精确性 对立统一，相互依存，可互相转化

精确的概念可表达模糊的意思 模糊的概念也能表达精确的意思

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2.1 概述 模糊性与随机性 随机性是事件发生与不发生的因果规律被破坏而造成 的一种不确定性。在形容随机性时，虽然我们不知道 每次实验时该事件是否出现，但每一事件是什么样的， 则是非常明确和清晰的。 模糊性则是事物本身性态和类属的不确定性。 大体上说，随机性是一种外在的不确定性，模糊性是 一种内在的不确定性。

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2.1 概述 模糊性与随机性 概率论处理随机事件： 事件发生与否不确定，但事件本身有明确定义， 即发生不发生的界限明确。 模糊集合处理模糊事件：

事件本身模糊，出现不出现没有明确的分界线事件本身有确切定义，发生与不发生的界限明确， 但事件发生的概率难于用精确的数值表示

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2.2 模糊集合 普通集合* 集合

* 元素 组成集合的各个对象，称为元 素，也称为个体。通常用小写 字母a,b,……,z来表示。 * 论域 所研究的全部对象的总和，叫 做论域，也叫全集合。 * 空集 不包含任何元素的集合，称为 空集，记做Φ。 * 子集 集合中的一部分元素组成的集 合，称为集合的子集。Page

具有特定属性的对象的全体， 称为集合。集合通常用大写字 母A,B,……,Z来表示。

* 属于 若元素 a 是集合 A 的元素，则 称元素 a 属于集合 A ,记为 a A; 反之，称a不属于集合A,记 a A *包含 若集合A是集合B的子集，则称集 合A包含于集合B,记为 A B;或 者集合B包含集合A,记为 B A 。*相

等 对于两个集合A和B,如果A B 和 B A 同时成立，则称A和B相等，记做 A=B。 *有限集 如果一个集合包含的元素为有限 个，就叫做有限集；否则叫做无 限集。9

2.2 模糊集合 集合的表示法 例举法 将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该 方法只能用于有限集的表示。 例如10-20之间的偶数组成集合A,则A可表示为 A={10,12,14,16,18,20} 描述法 将集合中所有元素的共同特征列在大括号中描述出来。 上例中的集合A也可用描述法表示为 A={a|a为偶数， 10≤a≤20}Page 10

2.2 模糊集合 特征函数 设x为论域X中的元素，A为论域X中定义的一个集合， 则x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。

1, A ( x) 0,

x A x A

特征函数的值域是{0,1},它表示元素x是否属于集 合A。如果x属于集合A,那么它的值为1;如果x不 属于集合A,那么它的值为0。

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2.2 模糊集合 集合的运算 集合的交X Y P

P X Y 集合的并X

Y Q

Q X Y 集合的补

Y XX

X {x | x X }Page 12

2.2 模糊集合 集合的直积 序偶 将不同的事物按一定顺序排列起来组成一个整体， 用以表达它们之间的关系，这就叫做序偶。 集合的直积 有两个集合X,Y,从X中取一个元素x,从Y中取一个元 素y,把它们组成一个序偶，所有元素序偶的全体组成一 个新的集合，这个集合叫做集合X,Y 的直积，表示为

X Y {( x, y) | x X , y Y }注：由于序偶和顺序有关，所以 A B B APage 13

2.2 模糊集合 模糊集合的定义给定论域X,X到[0, 1]闭区间的任一映射μA模糊集合 两要素

论域

A : X [0, 1] x A ( x)

隶属函数

都确定X上的一个模糊子集A,简称模糊集。对于x∈X,μA称为 模糊集合A的隶属函数，μA(x)称为x对于A的隶属度。 隶属函数μA(x)是x属于集合A的程度的数量指标，μA(x)的值越大， 表示x从属于A的程度越高，反之越低，当μA(x)仅取0,1二值时， A便成为普通集合，隶属函数就成为普通集合的特征函数。

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2.2 模糊集合 例2.2.1 以年龄为论域，取 X 0, 200 ,Zadeh给出了“年轻” 的模糊集Y,其隶属函数为0 x 25 1 1 2 Y ( x) x 25 1 5 25 x 200

当x=33时，Y(x)=0.2808 当x=34时，Y(x)=0.2358 当x=45时，Y(x)=0.0588 当x=54时，Y(x)=0.0289Page 15

2.2 模糊集合 例2.2.11 0.9 0.8Degree of membership

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

20

40

60 X Years

80

100

120

“年轻”的隶属函数曲线

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2.2 模糊集合 模糊集合的表示法 有限离散论域 Zadeh表示法 论域为有限集，即 X

{x1 , x2 , xn } 时，X上的模糊集可以表示为A

A ( x1 )x1

A ( x2 )x2

A ( xn )xn

隶属度为零的项可以不写。 式中的“+”和“/”仅仅 是分隔符号，并不代表 “加”和“除”。

向量表示法

A [ A ( x1 ) A ( x2 ) A ( xn )] 序偶表示法

隶属度为零的项 不能省略 隶属度为零的项 可以不写

A {( x1 , A ( x1 )) ( x2 , A ( x2 )) ( xn , A ( xn ))}

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2.2 模糊集合 例2.2.2设X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},以A表示“小的数”,分别写出 上述三种模糊集合的表达方式。 解：根据经验，“小的数”这一模糊概念，可以定量地给出其隶 属函数 Zadeh表示法： A 1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0 0 0 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

简化为：1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 A 1 2 3 4 5 6

序偶表示法：A {(1, 1), (2, 0.9), (3, 0.7), (4, 0.5), (5, 0.3), (6, 0.1)}

向量表示法：A (1, 0.9, 0.7, 0.5, 0.3, 0.1, 0, 0, 0, 0)Page 18

2.2 模糊集合 模糊集合的表示法 连续论域 Zadeh表示法：

A

X

A ( x)x A ( x)

之间的对应关系； 既不表示“积分”也不是“求和”记号， 而是表示论域X上的元素x与隶属度 A ( x) 对应关系的一个总括。

A ( x) 不是表示“分数”,而表示论域上的元素x与隶属度 x

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