选修1-1圆锥曲线复习(2)

设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0） （1）kOA ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1 ∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y1=2px1，y2=2px2 ∴

y1

2

2

2

y1x1

,kOB

y2x2

2p

y2

2

2p

y1y2 0

∵ y1≠0，y2≠0 ∴ y1y2=-4p2 ∴ x1x2=4p2

（2）∵ y1=2px1，y2=2px2

∴ （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) ∴

y1 y2x1 x2

2py1 y2

2

2

∴ kAB

2py1 y2

2py1 y2

2px1y1 y2

∴ 直线AB：y y1 ∴ y

2pxy1 y2

y1

2

(x x1)

∴ y

2pxy1 y2

y1 2px1 y1y2

y1 y2

选修1-1复习

∵ y12 2px1,∴ y ∴ y

2pxy1 y2

2py1 y2

y1y2 4p

2

4p

2

y1 y2

(x 2p)

∴ AB过定点（2p，0），设M（2p，0） （3）设OA∶y=kx，代入y2=2px得：x=0，x=

∴ A（

2pk

2

2pk

2

,

2pk1k

）

同理，以 代k得B（2pk2，-2pk）

1 2

x p(k )0 2 k∴

y P(1 k)0 k

∵ k2 ∴

x0p

2

1k

2

(

1k

kk

)

2

2

(

y0p

)

2

2

2

即y0=px0-2p

∴ 中点M轨迹方程y2=px-2p2 （4）S AOB S AOM S BOM

12

|OM|(|y1| |y2|) p(|y1| |y2|)

≥2py1y2| 4p2

当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立 评注：充分利用（1）的结论。 （5）法一：设H（x3,y3），则kOH

∴ kAB

x3y3

y3x3

x3y3

∴ AB：y y3 即x

y3x3

(x x3)

2

(y y3) x3

2

代入y=2p得y

2

2py3x3

y

2p3x3

2

2px3 0

由（1）知，y1y2=-4p ∴

2py3x3

2

2px3 4p

2

选修1-1复习

整理得：x32+y32-2px3=0

∴ 点H轨迹方程为x+y-4x=0（去掉（0，0）） 法二：∵ ∠OHM=900，又由（2）知OM为定线段 ∴ H在以OM为直径的圆上

∴ 点H轨迹方程为(x-p)+y=p，去掉（0，0） 例6、设双曲线x

2

2

2

2

2

2

y

2

2

1上两点A、B，AB中点M（1，2）

（1）求直线AB方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？

分析：

（1）法一：显然AB斜率存在 设AB：y-2=k(x-1)

y kx 2 k

由 2y2

1 x 2

得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0

当△>0时，设A（x1,y1），B（x2,y2） 则

x1 x2

2

k(2 k)2 k

2

∴ k=1，满足△>0 ∴ 直线AB：y=x+1

法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）

2

2y1

1 x1

2 则

2y2 2

x 1 2

2

两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)= ∵ x1≠x2 ∴

y1 y2x1 x2

2(x1 x2)y1 y2

12

(y1-y2)(y1+y2)

∴ kAB

2 12

1

∴ AB：y=x+1 代入x

2

y

2

2

1得：△>0

评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。

选修1-1复习

（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。

本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心

设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|

y x 1

由 2y2得：A（-1，0），B（3，4）

1 x 2

又CD方程：y=-x+3

y x 3

2由 2y2得：x+6x-11=0

1 x 2

设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0） 则x0

x3 x4

2

3,

y0 x0 3 6

∴ M（-3，6） ∴ |MC|=|MD|=

12

|CD|=2

又|MA|=|MB|=2 ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|

∴ A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，2为半径的圆上

评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。