离散数学讲义第三章

离散数学课件word2003

离散数学讲义

第三章

函数

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第三章

函数

函数是一种特殊的关系,是微积分中的函数概念的推 函数是一种特殊的关系 是微积分中的函数概念的推 本章主要讨论函数的一般性质及其一些应用. 广,本章主要讨论函数的一般性质及其一些应用 本章主要讨论函数的一般性质及其一些应用

§3.1 函数一.概念 概念 前面讨论的关系是比较广泛的概念,只要是 与B的笛 前面讨论的关系是比较广泛的概念 只要是A与 的笛 只要是 卡儿积的子集,均可作为 到 的关系 的关系.现在讨论的函数需 卡儿积的子集 均可作为A到B的关系 现在讨论的函数需 均可作为 要加以限制. 要加以限制 定义1: 设A .B是二集合 是A到B的关系 若对于任意的 a∈A 定义 是二集合f是 到 的关系,若对于任意的 ∈ 是二集合 的关系 都存在唯一的b∈ 则称关系f是 到 的一个函 都存在唯一的 ∈B, 使afb,,则称关系 是A到B的一个函 则称关系 数,记为 记为 f: A→B

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Df=A Rf B

称B是f的值域包 afb, 称b为a的像 用f(a) 是 的值域包, 为 的像,用 的值域包 的像

表示, 自变量) 表示 称 a为b 的像源 自变量 为 的像源(自变量 Rf =f(A)={b| B∈b ,存在 ∈A,使f(a)=b} 存在a∈ 使 ∈ 存在 的子集可以定义函数; 注1: A的子集可以定义函数 的子集可以定义函数 笛卡儿积A 可以定义函数, 注2: 笛卡儿积 1×A2×A3×A4×…… × An可以定义函数 f(a1,a2,a3,a4, ……, an)类似微积分中的多元函数 类似微积分中的多元函数; 类似微积分中的多元函数 函数又称为映射.变换 变换; 注3: 函数又称为映射 变换 由定义可知: 函数允许多对一,不允许一对多 允许B中 不允许一对多,允许 注4: 由定义可知 函数允许多对一 不允许一对多 允许 中 的元素无像源.如图 的元素无像源 如图 b1 b2 a1 a3 a2 a4 b3 b4 b5

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例1: 设A=I, B=N f={(i, | 2i | +1)|i∈I} or f(i)=|2i|+1 i∈I 则是从整数集到正整数集的一个函数,值域是正奇数集合 则是从整数集到正整数集的一个函数 值域是正奇数集合. 值域是正奇数集合 例2: 设A=R=B f={(a, a2)| a∈R} ,g={(a2, a)| a∈R}

f是R到R+(值域 的一个函数 一个像源有一个像 是 到 值域 的一个函数,一个像源有一个像 值域)的一个函数 一个像源有一个像. f (a) =a2 不是一个函数:因为 而g不是一个函数 因为 g(4) =2 不是一个函数 到破坏. 遭 到破坏 函数的相等.限制 限制.扩充 二. 函数的相等 限制 扩充 定义2: 定义 设f: A→B g: C→D 若A=C , B=D 且任意 ∈ A 且任意a g(4) = -2 像的唯一性

f(a)=g(a) 则称函数 与g相等 则称函数f与 相等 相等.

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定义3:设 定义 设f: A→B

g: A1→B 其中 1是A的子集 对任意 其中A 的子集,对任意 的子集

的a∈A1 , f(a)=g(a) 则称g是f在A1的限制, f是 g在A的扩充 ∈ 则称 是 在

的限制 是 在 的扩充. 的扩充 由定义有: 由定义有 g = f∩A1×B 函数g: z→N 例3: 函数 定义g(z)=2z+1就是例 中的 在 非负 就是例1中的 定义 就是例 中的f在 整数上的限制,而 是 在 上的扩充 上的扩充. 整数上的限制 而f是g在I上的扩充 例4: 函数 函数h: R0→R 定义h(a)=a2 ( R0是非负实数集合 是非负实数集合) 定义

就是 例2中f: R→R 在 非负 中 实数集合上的限制, 实数集合上的限制 注意函数与它的限制与扩充是不相 同的函数,因而它们可以具有完全不同的性质 同的函数 因而它们可以具有完全不同的性质. 因而它们可以具有完全不同的性质 可以扩充为(-1≤x≤ 1)的奇函 如 f(x)=x+1 (0≤x≤ 1)可以扩充为 可以扩充为 的奇函 数或偶函数.(练习 数或偶函数 练习) 练习

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关于A× 中的函数的集合 三. 关于 ×B中的函数的集合 A×B的每个子集均为 到B的一个关系 但并非全为函数. × 的每个子集均为A到 的一个关系,但并非全为函数 的每个子集均为 的一个关系 但并非全为函数 我们把可以用定义A到 的函数的那一部分用 来表示. 的函数的那一部分用B 我们把可以用定义 到B的函数的那一部分用 A来表示 即 B A={ f | f : A→B}是A到B的所有函数的集合 是 到 的所有函数的集合 的所有函数的集合.

例如 A={x,y} B={ a,b} 问题1 上可以定义多少个关系; 问题 : A×B上可以定义多少个关系 × 上可以定义多少个关系 将这些关系写出来. 将这些关系写出来 问题2: 上述关系中有多少个函数 按定义把它们 上述关系中有多少个函数,按定义把它们 问题 都找出来. 都找出来 下一页

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1: A×B 上可以定义 #(A×B )关系 即24个关系 × 上可以定义2 × 关系, 个关系;× 2: 2 A×B={φ,{(x,a)}, {(x,b)}, {(y,a)}, {(y,b)}, {(x,a),(x,b)},

{(x,a),(y,a)}, {(x,a),(y,b)}, {(x,b),(y,a)}, {(x,b),(y,b)}, {(y,a),(y,b)}, {(x,a),(x,b),(y,a)}, {(x,a),(x,b),(y,b)}, {(x,a),(y,a),(y,b)}, {(x,b),(y,a),(y,b)}, A×B } × 其中{(x,a),(y,a)}, {(x,a),(y,b)}, {(x,b),(y,a)}, 其中 {(x,b),(y,b)}是函数 是函数. 是函数 命题1: 为二集合.# 命题 设A.B为二集合 #A=m 为二集合 #B=n 则

# BA =(#B)#A=nm # 证明: 因为任意一个函数f是 的 个元素上取值所唯一 证明 因为任意一个函数 是A的m个元素上取值所唯一 确定,而对于 的任意一个元素 种可能, 确定 而对于A的任意一个元素 在a处的 取值都有 种可能 而对于 的任意一个元素a,f在 处的 取值都有n种可能

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(其他值固定 其他值固定,f(a)可以在 中取 个不同的值 则得到 个不同 可以在B中取 个不同的值,则得到 其他值固定 可以在 中取n个不同的值 则得到n个不同 的函数), 有乘法原理可知;,由A到B的函数共有 的函数 有乘法原理可知 由 到 的函数共有 n·n·n·n … … n = n m=(#B)#A # 几

种重要的函数: 四. 几种重要的函数 定义4: 是一个A到 的函数 的函数. 定义 设f 是一个 到B的函数 1). 若ai≠aj 时 , 有f(ai)≠f(aj) 像源不同,则像不同 像源不同 则像不同; 则像不同 ( 或f(ai) = f(aj) 时, ai=aj (逆否命题 称f 是一个A到B的 逆否命题)) 是一个 到 的 逆否命题 内 射函数. 射函数 2). 若f(A)=B, 是一个A到 的满射函数 的满射函数. 称f 是一个 到B的满射函数

(任意 ∈B,存在 ∈A使 afb, 即B的任意元素都有像源 ) 任意b∈ 存在 存在a 的任意元素都有像源. 任意 使 的任意元素都有像源 3). 若f 既是内射 又是满射 称f 为双射 既是内射,又是满射 又是满射,称 为双射.

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容易证明: 的内射必要条件为# 容易证明 f 为A到B的内射必要条件为#A ≤ #B 到 的内射必要条件为 f 为A到B的满射必要条件为#A ≥ #B 的满射必要条件为# 到 的满射必要条件为 f 为A到B的双射必要条件为#A = #B 的双射必要条件为# 到 的双射必要条件为 如图所示: 如图所示 f 内射a 1 2 b 3 c 4 e a b c d

f 满射 1 2 3 4

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请同学们自己将内射,满射 双射的否定定义用定义的形式 请同学们自己将内射 满射,双射的否定定义用定义的形式 满射 表述出来. 表述出来 函数f: 例5:函数 Z→Z 函数 函数f: …… 此处隐藏：4693字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……