复变函数 试题2012-2013A

装 订 线

华科武昌分校

2012 —20 13学年第 一 学期 《 复变函数与积分变换 》试卷（A）闭 卷

专业班级：______ 学号：_____ 姓名：_____ 总分：_____

一．填空与判断题。（每小题3分，共30分）

1

．复数z 1

i的三角表达式为 2

2

2．当实数a 时，f(z) (x复平面上处处解析。

2xy y2) i(y2 axy x2)在

3．设c是正向单位圆周z 1，则sinzdz c

4. 幂级数

nn

z的收敛半径R n2n 0

z sinz

，则Res[f(z),0] 3

z

5．设函数f(z)

6．若级数

z

n 1

n

收敛，则级数

z

n 1

n

收敛。 （ ）

7. 若f(z)在点z i处可导，则f(z)在点z i处解析。 （ ）

8. 积分

1

dz z(z 1)z 3

z 3

1

dz 2 i （ ） z

9. 若幂级数

c(z i)

nn 0

t

n

在z i处发散，那么该级数在z 2处发散。（ ）

10. 函数f(t) e的傅氏变换为

e (1 j )tdt。 （ ）

二．选择题。（每小题3分，共15分）

1. 设f(z) sinz，下列命题中不正确的是（ ）

A. f(z)在全平面上处处解析； B. f(z)以2 为周期；

eiz e izC. f(z) ； D. f(z)是有界的

2i

z

2. 设e 1 i，则z的虚部Imz （ ）

A.

4

； B. 2k

4

； C.

； D. 2k

44

3. 包含了单位圆盘z 1的区域是（ ）

A. Rez 1; B. Rez 0; C. Rez 1; D. Imz 0 4.

cosz

dz （ ） 3zz 1

1

的（ ） z 1

A. 0； B. 2 i； C. i； D. i

5

5. 点z 1是f(z) (z 1)sin

A. 可去奇点； B. 本性奇点； C. 五阶极点； D.二阶极点

三．证明函数

析函数

v(x,y) 2xy 3x为调和函数，并求解

f(z) u iv。（10分）

四．计算题。（共45分）

1．设f(z) 14

z4

iz，求方程f (z) 0的所有根。(5分)

装 2．求e

1

3

i

和3

3 i

的值。(10分)

订 线

3．计算积分 的值，其中c是0到2 i的直线段。（5分）C

4．求函数

f(z)

1

1

在其孤立奇点处留数，并用留数计算积分

z3(z i)

dz。（10分）

I

z 2

z(z i)

3

5．将函数（10分）

1

f(z)

z(z 2)分别在以下圆环域展开成洛朗级数。

（1）0 z 1 （2）2 z 2

6．已知函数f(t)

2,0 t 2

，求f(t)的Laplace变换。（5分）

3,t 2