4.4 几种特殊函数的不定积分

4.4几种特殊函数的不 定积分一、有理函数积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分

4.4几种特殊函数的不 定积分一、有理函数积分有理函数：P( x) a0 x n a1 x n 1 ... an 1 x an Q( x) b0 x m b1 x m 1 ... bn 1 x bm

当 P( x) 的次数小于 Q( x) 时，称这有理函数为真分式，否则为假分式。 总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分 式之和的形式

例1 将下列真分式分解为部分分式

4.4几种特殊函数的不 定积分

解

(1) 用拼凑法

x ( x 1) 1 1 1 2 2 2 ( x 1) x( x 1) x( x 1) x( x 1) 1 x ( x 1) 2 ( x 1) x( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)

4.4几种特殊函数的不 定积分(2) 用赋值法，设

x 3 x 3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3解得

A 5, B 66 5 原式 x 2 x 3

4.4几种特殊函数的不 定积分(3) 设

1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2

4 2 1 C B 5 5 1 4 B C 1 C 6 15 2 5 1 4 2x 1 原式 = 5 1 2 x 1 x2

5x 6 2 x 5x 6 ( x 2)(x 3) 解 因为2

例2 求 设

x

4.4几种特殊函数的不 定积分 x 3dx

x 3 x 3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)(x 3) x 2 x 3

可得 x 3 A( x 3) B( x 2)

A 5, B 65 6 x 3 x 2 5 x 6dx x 2dx x 3dx

5 ln | x 3 | 6 ln | x 3 | C

1 dx. 例3 求 2 x( x 1) 解 设 1 A B C 2 2 x ( x 1) x 1 x( x 1)

4.4几种特殊函数的不 定积分

得 1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1) 令 x 1 ,得 B 1 令 x 0,得 A 1 将 A, B 的值代入，得 C 1 1 1 1 1 dx ( )dx 于是 2 2 x( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x x 1 ( x 1) 1 ln | x | ln | x 1 | C x 1

例4 求.

解 设 x 4

x 4 A Bx C 2 , 3 2 x 2 x 3 ( x 1)( x x 3) x 1 x x 3

x

3

dx 2x 3

4.4几种特殊函数的不 定积分 x 4

得 x 4 A( x2 x 3) ( Bx C)( x 1), 展开并比较两端的系数，得 于是A 1, B 1, C 1.x 4 1 x 1 x3 2 x 3dx x 1dx x 2 x 3dx 1 1 2x 1 2 ln x 1 ln( x x 3) arctan C. 2 11 11

二、三角函数有理式的积分x 设 tan t 2

4.4几种特殊函数的不 定积分1 t2 cos x 1 t2

2t sin x , 2 1 t

x 2arctan t ,从而

2 dx dt 2 1 t

称为万能代换

例5 求

x 解 设 tan 2 t ,则

1 sin x dx

4.4几种特殊函数的不 定积分 sin x

.

2 2t 1 t2 dt sin x , cos x , dx

2 2 2 1 t 1 t 1 t

于是

1 1 du 2 dt 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t 4t

sin x 1 sin x dx

1 2 2 arctan t C C x x 1 t 1 tan 2

例6 求

x 解 设 tan t,则 2 2 2t 1 t2 sin x , cos x , dx dt 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 1 2 于是 2sin x cos x 5dx 4t 1 t 2 1 t 2 dx 5 2 2 1 t 1 t 1 1 1 d (t ) 3 3 1 2 5 2 (t ) ( ) 3 3 x 3 tan 1 1 2 arctan C. 5 5

2sin x cos x 5dx.

4.4几种特殊函数的不 定积分 1

4.4几种特殊函数的不 定积分三、简单无理函数的积分 1 1 3 x 1 dx 例7 求解 设 于是3

3 2 x t 1, dx 3 t dt. x 1 t ,则

1 3t 2 1 3 x 1 dx 1 t dx t 2 1 1 3[ dx dx] 1 t 1 t t2 3[ t ln(1 t )] C 2 33 ( x 1) 2 3 3 x 1 3ln 1 3 x 1 C. 2

例8 求6

(1

4.4几种特殊函数的不 定积分 13

x) x

dx

5 解 设 x t ,则 dx 6t dt 1 1 5 (1 3 x ) x dx (1 t 2 )t 3 6t dt

t2 1 6 dt 6 1 dt 2 2 1 t 1 t

6(t arctant ) C

6( x arctan x ) C6 6

例9 求 解 设t

3

4.4几种特殊函数的不 定积分 13

( x 1)2 ( x 1)4

dx

3 2 x 1 t 1 6t , dx 3 . ,则 x 3 2 x 1 t 1 (t 1)

x 1 x 1 3 2

1

4

dx

t2

t 1 t3 1 t3 1 1 3 3 dt t C 2 23

6t 2

2

dt

3 3 x 1 C 2 x 1

4.4几种特殊函数的不 定积分四、小结1.有理式分解成部分分式之和的积分.

(注意：必须化成真分式)2.三角有理式的积分.(万能公式) (注意：万能公式并不万能) 3.简单无理式的积分.