唐静静工程力学第七章梁

概述

§7–1 概述

一、问题的提出

zzz

纯弯曲时的正应力：概述

◇变形特征

纯弯曲时的正应力：概述

☆纯弯曲时的基本假设

横截面上无切应力

横截面上只有轴向正应力

纯弯曲时的正应力：公式推导

σ=E

y

ρ

M

z

=

∫ yσ dA= MA

(3 )

与应力分析相关的截面图形几何性质图形对于 z轴的静矩轴的静矩 S z=∫A ydA

将应力表达式代入第三式，得

M=

∫

A

y dA= I Z

2

ρ A A——横截面对中性轴的惯性矩

∫ yσ dA

=

E

∫

y 2 dA

图形对于 y轴的静矩轴的静矩 S y=∫ zdAA

O dA yz

z

1

ρ纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式:

=

M曲率的计算公式 E Iz

z dA图形对 y轴的惯性矩轴的惯性矩 I yy=∫A A2 2

2图形对 z轴的惯性矩轴的惯性矩 I zz=∫A y 2dA A

EI z——梁的抗弯刚度¾公式应用条件：公式应用条件：1直梁 2纯弯曲 3线弹性

图形对 y z轴的惯性积=轴的惯性积 I yz yz

∫ yzdAA AA

y

A

σ=

My Iz

2图形对 O点的极惯性矩=∫r2 dA点的极惯性矩 I P P A

二、惯性矩1.计算公式

(1)矩形截面

b

Iz=

∫

y 2 dA

I

z

=

A

bh 3 12Ip 2=

h

z y

(2)实心圆截面

2.几种常见形状截面的惯性矩b

Iz= Iy=h

πd 464

d z y

(1)矩形截面Iz==

∫

y dA=3

2

A

∫

h 2

(3)空心圆截面(形心重合)z y

y bdy

2

bh 12

h 2

Iz= I y=

π64

(D4 d 4 )=

πD 464

(1 α 4 )α=d D

D d z y

(4)型钢截面可从型钢表中查得。

3、惯性矩的平行移轴公式设图形对于形心轴的惯性矩分别为 I yC和 I zC,图形对于平行于形心轴的两轴y、z的惯性矩分别为 I y和 I z。Iz=

IzCI

I z= I z, I+ I z, III z,I=zCII

y= yC+ a z= zC+ b

80× 203× 10 12+ (80× 20) 1220 2 )× 10 12= 105.3× 10 8 m 4 2

∫ y dA=∫ ( y2 A A

C

+ a ) dA

2

× (35

=Iy

∫∫∫=∫ z dA=∫ ( z+ b) dA= I yA A A2 C 2 A A

y C 2 dA+ 2 a y C dA+ a 2 dAC

= I zC+ 2a 0+ a2 A+ 2b 0+ b2 A——惯性矩的平行移轴公式

I z,II=

20× 803×10 12+ (20× 80) 1280 2 )×10 12= 185.3× 10 8 m 4 2

II

× (65

I Z= I z C+ Aa 2 I y= I y C+ Ab 2

Iz=?

I z= 105.3× 10 8+ 185.3× 10 8

= 290.6× 10 8 m 4

纯弯曲时的正应力：结论与讨论

讨论1. σ=E

y

ρ

=

MyIz

1

ρ

=

MEIz

没有关系。

纯弯曲时的正应力：结论与讨论

纯弯曲时的正应力：结论与讨论

讨论 2.从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=?随其广分为三分，以二分为厚。”才能最有效利用材料？宋

解：根据正应力条件σ max=

M W要使σmax尽可能小,则W要尽可能大

“凡梁之大小，各

bh 2 b(d b )= 6 6 dW=0要求W最大，令 db2 2

矩形截面 W=

d

h

李诫《营造法式》

d

h b

b

从而有：

意为矩形梁木的高:宽=3:2。

b2+ h2= d 2

(1)

试用弯曲正应力条件证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。

d 2 3b 2=0 6 d 2d∴b= h= 3 3

因此 h: d= 2: 1≈ 3: 2

纯弯曲时的正应力：结论与讨论

讨论 3.如何计算 AC段和 BD段上应力？ My是从纯弯梁推得，正应力计算公式σ= Iz能否适用于横力弯曲？PC F FQ SC\

二、横向弯曲时的正应力横向弯曲时，横截面上有切应力平面假设不再成立

aA B

a

PD

此外,横向弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.由弹性力学的理论，有结论：当梁的长度l与横截面的高度h的比值:

P⊕

l>5 h

A

B

D

x

P\

C M

A

B

D

x

则用纯弯曲的正应力公式计算横向弯曲时的正应力有足够的精度。 l/ h> 5的梁称为细长梁

。

Pa

z

最大正应力横向弯曲时，弯矩是变化的。

M max ymax Iz I引入符号： W= z 弯曲截面模量 ymax Mσ max= max则有： W

例2:图示为一T形截面的悬臂梁及其横截面尺寸，在自由端作用一集中力。已知： I z= 290.6×10 8 m4, P= 1.5kN, L= 2m。试求横截面上的最大拉应力和最大压应力。 P

σ max=

L3kN m

解：(1)作梁的弯矩图 x M (2)计算最大正应力因全梁横截面的弯矩均为负值，故最大弯曲正应力必定在弯矩绝对值最大的横截面上，且最大拉应力在该截面的上边缘处，最大压应力在该截面的下边缘处。

z

比较拉压:σ max=

FN max A

σ b max=

M max yb max IzIz

=

3×103× 35×10 3 290.6×10 8= 290.6×10 8

= 36.1MPa

例3:图示为一T形截面的外伸梁及其横截面尺寸。已知 I z= 290.6×10 8 m4,试求横截面上的最大拉应力和最大压应力。

σ bc max=

M max ybc max

3×103× 65×10 3

= 67.1MPa

结论：当全梁横截面的弯矩均为正值或均为负值时，且中性轴不是横截面的对称轴，则整个梁横截面上的最大拉应力和最大压应力必定在弯矩绝对值最大的横截面上。若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力和最大压应力的绝对值相等。解：(1)作梁的弯矩图

(2)计算最大拉应力

危险截面与危险点危险截面的应力分布

σ Cx=

M C y x 2.5×103× 65×10 3= 55.9MPa= 290.6×10 8 Iz M y 3×103× 35×10 3= 36.1MPaσ Bs= B s= 290.6×10 8 Izσ b max=σ Cx= 55.9MPa

(3)计算最大压应力因 M C< M B, y s< y x,故最大压应力必定发生在 B截面的下边缘处. 3 M y 10 3σ bc max=σ Bs= B s= 3×10× 65× Iz 290.6×10 8

最大拉应力可能发生在C截面的下边缘处和B截面的上边缘处.

= 67.1MPa

§7-5梁的正应力强度条件梁的横截面上的最大弯曲正应力σ max不超过材料的许用正应力[σ],即

一、正应力强度条件

例4:图示为一矩形截面的简支木梁，梁上作用均布荷载。已知：l=4m,b=140mm,h=210mm,q= 2 kN m。木材的许用正应力[σ]= 10MPa。试校核梁的强度。解： (1)作梁的弯矩图最大弯曲正应力：1 1 M max= ql 2=× 2× 103× 4 2 8 8= 4× 10 3 N m= 4kN m

σ max≤[σ]

(1)对于等截面梁，当中性轴为横截面的对称轴时，

(2)当中性轴不是横截面的对称轴，且拉、压强度不相等时，σ b max≤[σ b]σ bc max≤[σ bc]

M max≤[σ] Wz

x

二、强度计算的三种类型1、校核强度； 3、确定许可荷载。 …… 此处隐藏：1988字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……