3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换

来源：网络收集时间：2026-08-18

导读：信号与系统 3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 3.4.1 傅里叶变换周期信号有：f (t ) = n= T 2 T 2 Fne jn tjn t 当时： T 1 Fn = f (t )eT dt 周期信号趋于非周期信号。谱线无限密集， d n 幅度 Fn 趋于无穷小 Fn ? T T 2 T 2 f (t )e- jn t dt 令：F

信号与系统

3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 3.4.1 傅里叶变换周期信号有：f (t ) =

ån= T 2 T 2

Fne jn tjn t

当

时： T

1 Fn = ò f (t )eT

周期信号趋于非周期信号。谱线无限密集， ® d n ® 幅度 Fn 趋于无穷小

Fn ? T

T 2 T 2

f (t )e-

jn t

令：F ( j ) =

T

lim Fn × f (t )e j t dt T

信号与系统

3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换又因为：

F ( j ) = lim Fn ?TT

2 lim Fn ? T

1 lim Fn T  f

称为频谱密度函数，简称频谱函数。

f (t ) lim

Fne

jn t

= limT

ån= -

Fn jn t e Fn F ( j ) 2

n ® ® d 1 f (t ) 2

F ( j )e j t d

信号与系统

3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换傅立叶变换对正变换逆变换记为：或：

F ( j ) 1 f (t ) 2

f (t )e

j t

F ( j )e j t d

f (t ) F ( j )

一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对可积，即要求

f (t ) dt

信号与系统

3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 3.4.2 非周期信号的频谱函数

F ( j ) F ( j ) e幅度频谱： F ( j ) ~ 相位频谱：

j ( )

变化的关系曲线变化的关系曲线

)~ (

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3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出：F ( j ) f (t )e j t

dt f (t ) cos tdt j f (t ) sin tdt = R( ) + jX ( )

ì R( j ) = R(- j ) ï ï í ï X ( ) = - X (- ) ï î

是ω的偶函数

是ω的奇函数

F ( j ) F ( j ) e j ( ) F ( j ) F ( j ) 是ω的偶函数是ω的奇函数 ( ) ( )| F ( j ) |= R2 ( ) + X 2 ( )

X ( ) ( ) arctan R( )

R( ) = F ( j ) cos ( ) X ( ) = F ( j ) sin ( )

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3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换几个重要结论：当 f (t) 是实函数时： (1) 若 f(t)为t的偶函数，即 f(t) = f(-t), 则 f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的实函数，且为ω的偶函数。 (2) 若f(t)为t的奇函数，即 f(-t) = -f(t), 则f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的虚函数，且为ω的奇函数。

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3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 3.4.3 典型信号的傅里叶变换

常用非周期信号– – – – – – – 冲激函数直流信号门函数指数信号阶跃函数符号函数冲激偶函数

信号与系统

3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换例：门函数矩形脉冲一般称为门函数其宽度为τ, 高度为1,通常用符号gτ(t)来表示。

1 g (t ) 0

(t (t

2 2

) )

信号与系统

3.4 非周期信号的连续时

间傅里叶变换gτ(t)的傅里叶变换为：

F ( j ) g (t )e

j t

/ 2 j t

j 2

e j

j 2

) sin( 2 sin( ) 2 Sa ( ) 2 2 2 则： F ( j ) Sa( ) 0: F ( j ) 2

k 2

(k 1, 2, 3, )

2k : F ( j ) 0

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3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换门函数

频带宽度：

信号与系统

3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比 1.它们都具有抽样函数 Sa(x) 的形式。

A n 1 2. F ) Sa ( ) 和 F ( j ) A Sa ( n 2 T 21 A. Fn 值比 F ( j ) 值多乘了 T

这是由两者的定义决定的。

B. Fn 中的不连续变量 n 在 F ( j ) 中变成了连续变量

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3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比 C.由非周期脉冲按一定的周期T重复后构成的周期信号

F ( j ) 和 Fn 之间可以互求。D.非周期信号的频谱也具有收敛性。脉宽的定义方法与周期信号相同。

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3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换分析非周期信号的频谱： 1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。 2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得。 3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。 4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，即有效带宽。 5. 脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。

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3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换例：冲激函数由傅立叶变换的定义式有：

取样性质

F ( j ) (t )e j t dt 1

(t ) 1

冲激信号的频谱是均匀谱F ( j )

(t )0 t 0

δ(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都

相等。显然，信号δ(t)实际上是无法实现的。

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3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换例：直流信号

f (t ) 1

F ( j ) 1 e j t dt

(直接积分无法进行)

1 1 e j t d (t ) 2 令：t 1 ( ) 1 e jt dt 冲激信号是偶函数： 2 1 j t ( ) ( ) 1 e dt 2 f (t ) 1 2 ( ) 2 ( ) 1 e j t dt 1 2

由傅立叶逆变换的定义式有：

F( j ) = 2 ( )

1 2 ( )

信号与系统

3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换

例：单边指数信号一时域表达式：

e t 0 f (t ) t 0 0 t e (t ) at

( 0)

其傅立叶变换：

F ( j ) f (t )e

j t

e dt ( j ) 0

( j ) t

1 1 e j 2 2

j arctan

信号与系统

3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换F ( j )

1 F ( j ) j 其振幅频谱为：

F ( j ) 相位频谱为：

( ) 2

2 20

( ) arctan( )

信号与系统

3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换例：单边指数信号二时域表达式：

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