高数二重积分习题加答案

用二重积分求立体的表面积

二重积分习题课例1 比较 I 1 = ∫∫ ( x + y ) 2 dσ 与 I 2 = ∫∫ ( x + y ) 3 dσ 的大小 ,D D

其中 D 由 ( x 2 ) 2 + ( y 1) 2 = 2 围成 .y

由重积分的性质x+y>1

I1 < I2

1

2

0

1

2

x

x + y =1

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例2 将二重积分化成二次积分 I = ∫∫ f ( x , y )d xdy ,

D: x + y =1 , x – y = 1,x = 0 所围 所围. ,1 y

D

先对 y 积分y =1– x

I =01

∫ dx ∫0

1

1 x

x 1

f ( x , y )d y

x

y = x –1 –1

用二重积分求立体的表面积

先对 x 积分1 y

I =x =1– yD1

∫∫ + ∫∫D1 D21 y

=1

∫ dy ∫0

1

0

f ( x , y )d x +y +1

0D2

x

+

∫

0

1

dy ∫

0

f ( x , y )d x

x = y +1 –1

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例3 将二次积分换序 I = D: x ≤ y ≤ 2ax x 2

∫0 dx ∫xy

a

2 ax x 2

f ( x , y )dy .

a

x = a a2 y2

0≤ x≤ay 2 = 2ax x 2

即 y + ( x a) = a又Q x ≤ a,∴x a = a y2 2

2

2

2

0

a x

I=

∫

a

0

dy

∫

y2 2

a a y

f ( x , y )d x

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例4 将 I = ∫ d y ∫ 0 0 区域边界： 区域边界： 边界y

2R

2 Ry y 2

f ( x , y )d x 变为极坐标形式 .即 r =2Rsinθπ 即θ = 2

x = 2 Ry y 2

x=0r =2Rsinθ

2R

∴ I = ∫ dθ ∫0

π 2 0

2 Rsin θ

0

f ( rcos θ , rsin θ )rdr

θx

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1 x2 例5 计算∫∫ 2 dσ , 其中D由 y = x, y = , x = 2 x D y

解

围成. 围成. 1 D : ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2. x

∫∫ y2 dσ = ∫1 dx∫D

x

2

2

x 1 x

x y

2

D

2

dy

x = ∫ 1 y

2

2

2 3 dx= ( x x)dx = 9. 1 1 4

x

∫

x

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例6 计算 ∫∫ y x dσ , 其中D : 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.2 D

先去掉绝对值符号， 解 先去掉绝对值符号，如图

∫∫D

y x2 dσ2

D3D12

=

D +D2 1

∫∫ ( x1 1

y)dσ + ∫∫ ( y x )dσD3

D2

= ∫ dx ∫ ( x y )dy + ∫ dx ∫ 2 ( y x2 0 1 x

x2

1

1

2

11 )dy = . 15

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例7 证明

∫a dx∫a ( x y)证b x

b

x

n 2

1 b f ( y)dy = (b y)n 1 f ( y)dy. n 1∫an 2

∫a dx∫a ( x y)b b

f ( y)dy

y b

y= xD

= ∫ dy∫ ( x y)n 2 f ( y)dxay

a

=∫

b

a

1 n 1 f ( y) ( x y) dy n 1 y

b

o

a

b

x

1 b (b y)n 1 f ( y)dy. = n 1 ∫a

用二重积分求立体的表面积

例8 计算 解1

∫0 dy∫yy

1

y

sin x dx. x

∫0 dy∫y1 0

1 x sin x sin x dx = ∫ dx∫ 2 dy 0 x x x

= ∫ (1 x)sin xdx

= 1 sin1.

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x2 y2 例9 设D为圆域 x 2 + y 2 ≤ R 2 , 求 ∫∫ 2 + 2 dxdy . a b D y

解2

由对称性1 y dxdy = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy 2 D2O

Rx

∫∫ x dxdy = ∫∫D D

x2 y2 1 1 1 ∴ ∫∫ 2 + 2 dxdy = 2 + 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy a b 2 a b D D R 2 1 1 1 2π 1 4 1 1 = 2 + 2 ∫ dθ ∫ r rdr = πR 2 + 2 . 0 4 b 2 a a b 0

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例10 求半球面 z = 3a x y 与旋转抛物面2 2 2

z x 2 + y 2 = 2az ( a > 0 ) 所围成立体的表面积 .

o

x

y

用二重积分求立体的表面积

S = S1 + S 2z

z =

3a 2 x 2 y 2 共同的 D : 2 x + y 2 = 2az

S1 S2

x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即 z = 0

oD2a

y

x

用二重积分求立体的表面积

S1 : z = 3a 2 x 2 y 23a z z dxdy dA1 = 1 + + dxdy = 2 2 2 3a x y x y 2 2

x2 + y2 S2 : z = 2a 2a z z a2 + x2 + y2 dA2 = 1 + + dxdy = dxdy x y a2 2

所求面积： 所求面积：A = A1 + A2 = ∫∫D

3a 3a x y2 2 2

dxdy + ∫∫D

a2 + x2 + y2 dxdy a

用二重积分求立体的表面积

= 3a ∫

2π 0

dθ ∫2a 0

2a 0

2a 1 2π rdr + ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 3a 2 r 2

1

= 6π a ∫

2π rdr + a 3a 2 r 2 12a

∫

2a 0

a 2 + r 2 rdr

= 3π a ∫ +

1 3a 2 r 2

0 2a

d (3a 2 r 2 )

πa

∫

0

a 2 + r 2 d (a 2 + r 2 )

4 2 2 2 = 6 3 + 6 π a . 3 3

用二重积分求立体的表面积

练习题交换下列二次积分的次序: 交换下列二次积分的次序1 2y 3 3 y

1. ∫ dy ∫01 0

0

f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1

0

f ( x , y )dx;

2. ∫ dx ∫R 2

1+ 1 x 2 x

f ( x , y )dy;

计算下列二次积分： 计算下列二次积分： 二次积分

3. ∫

0

e

y

2

dy ∫ e0

y

x

2

dx + ∫

R R 2

e

y

2

dy ∫

R2 y 2

0

e

x2

dx;

4.

∫1

5

5 dx 1 dy ∫ . y ln x y

用二重积分求立体的表面积

练习题答案

1.∫ dx ∫ x0 2

2

3 x

f ( x , y )dy2 2 y y2 0 R2

2.∫ dy ∫0

1

y2 0

f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1R r2

f ( x , y )dx).

3. I = ∫ π dθ ∫ e2 4 0

π

rdr =

π8

(1 e

4. I = ∫ dx ∫1

5

x 1

5 1 dy =∫ ln xdx = 4. 1 ln x y ln x

用二重积分求立体的表面积

设 ( x )为[0D关于直线 y = x对称 , 则 若闭区域 ,1]上的正值连续函数 , a ( x )∫∫ f b )( σ ) ∫∫ f ( y, x)dσ1 + (x, y dy = 证明： 证明： ∫∫ ( x ) D+ ( y ) dDxdy = 2 (a + b) D

为常数， 其中 a, b为常数， D = {( x , y ) 0 ≤ x , y ≤ 1}. y a ( x ) + b ( y ) 证 设I = ∫∫ d xd y y= x 1 ( x) + ( y) D

y 由区域关 …… 此处隐藏：1829字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……