等边三角形性质与判定[1]

知识回顾名 称 等 腰 三 角 形 图 形A

性

质

判

定

两腰相等 等边对等角

两边相等 等角对等边 “三线合一” 的逆用

B

C

三线合一

轴对称图形

学习园地在等腰三角形中，有一种特殊的情况， 就是底边与腰相等，这时，三角形三边相 等。等边三角形: 三条边都相等的三角形. (正三角形) 等边三角形是特殊的等腰三角形.

探索星空：探究性质一1、等边三角形的内角都相等吗?为什么?由已知:AB=AC=BC, ∵AB=AC ∴∠B=∠C (为什么?) 同理 ∠A=∠C ∴∠A=∠B=∠C ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °

A

B

C

结论:等边三角形的内角都相等,且等于60 °.

探索星空：探究性质二2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什 么? A

B

C

结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角 的平分线都三线合一。

探索星空：探究性质三3、等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?

A

B

C

结论：等边三角形是轴对称图形，有三条对称.

等边三角形的性质1 .三条边相等 2.等边三角形的内角都相等,且等于60 °3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平

分线都三线合一.4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.

探索星空：探究判定一1、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形? ∵ ∠A=∠B=∠C=60° ∴ AB=AC=BC (在同一个三 角形中等角对等边) ∴ △ABC是等边三角形B C A

探索星空：探究判定二2、有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形?

A当顶角为60°时，两个底角各为60°. 当底角为60°时，顶角为60°.

B

C

等边三角形的判定方法:一般三角形

等边三角形

1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角 形.

等腰三角形

等边三角形

3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是 等边三角形.

课外活动小组在一次测量活动中,测得 ∠APB=60°AP=BP=200cm,他们 便得到了一个结论:池塘最长处不小 A 于200cm.他们的结论对吗?P) 60°

B

例1

等边三角形ABC的周长等于21㎝, 求：(1)各边的长； (2)各角的度数。 B C 解：(1)∵AB=BC=CA, 又 ∵AB+BC+CA=21㎝(已知) ∴AB=BC=CA=21/3=7(㎝) (2)∵AB=BC=CA,(已知) ∴∠A =∠B=∠C=60° (等边三角形的每个内角都等于60°)

A

(选择)1、下列四个说法中，不正确的有(B ) (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有两个角等于60°的三角形是等边三角形。 有一个是60°的等腰三角形是等边三角形。 有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。C 2、等边三角形的对称轴有( ) (A)1条(B)2条(C)3条(D)4条 3、等边三角形中，高

、中线、角平分线共有(A) (A)3条(B)6条(C)9条(D)7条

探究：如图,等边三角形ABC,以下三种方法分别得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？ (1)在边AB,AC,分别截取AD=AE (2)∠ADE=60°,D,E分别在边AB,AC上 A (3)过边AB上D点，作DE∥BC,交 AC于E点 D E

B

C

等边三角形的性质(重点)例 1:如图 1,在等边△ABC 中，D 是 AC 的中点，延长 BC 到点 E,使 CE=CD,AB=10. (1)求 BE 的长； (2)求∠DBE 与∠DEB 的度数. 图1

1 1 思路导引：(1)CE=CD=2AC=2AB=5.BE=BC+CE.(2)∠DBE=1 , 由三角形的外角可求∠DEB 的度数. 2∠ABC=30° 而∠DEB=∠CDE,

解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC=10.

1 又∵D 是 AC 的中点，∴CD=2AC=5.又∵CD=CE,∴CE=5. ∴BE=BC+CE=10+5=15. (2)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°. 又∵D 是 AC 的中点，∴BD 平分∠ABC. 1 ∴∠DBE= ∠ABC=30°. 2 又∵CD=CE,∴∠CDE=∠CED. 而∠ACB=∠CDE+∠CED=60°, ∴∠CED=∠CDE=30°,即∠DEB=30°.

等边三角形的判定(重点) 例 2:如图 2,△ABC 是等边三角形，且∠1=∠2=∠3.判 断△DEF 的形状，并简要说明理由.

图2 思路导引：观察发现△DEF 是等边三角形.由于已知角的

关系，可考虑利用“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行证明.

解：△DEF 是等边三角形.理由如下： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°. ∵∠1=∠2=∠3, ∴∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB=60°. 同理∠DEF=∠EDF=60°.∴△DEF 是等边三角形. 【规律总结】在证明等边三角形时，若已知三边关系，则 先选用判定方法(1);若已知三角关系，则先选用判定方法(2); 若已知等腰三角形，则先选用判定方法(3).

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