非线性电路--微分方程数值解法(2)

y n + 1 = y ( x n ) + h ( c 1 + c 2 ) y ′ ( x n ) + c 2 lh 2 y ′′ ( x n ) + O ( h 3 )

(8 - 14)

比较( 13) 14)两式，要使公式具有二阶精度， 比较(8-13)与(8-14)两式，要使公式具有二阶精度， 只有满足下列条件： c c 1

+ c l =

2

= 1 (8 - 15)

2

1 2

这里一共有三个待定参数，但只需满足两个条件，因此有一个自由度，于是满足条 这里一共有三个待定参数，但只需满足两个条件，因此有一个自由度， 15)的参数不止一组，而是一族，相应的公式( 12)也有一族， 件(8-15)的参数不止一组，而是一族，相应的公式(8-12)也有一族，这些公式统称为 二阶龙格-库塔公式，简称二阶 二阶龙格-库塔公式，简称二阶R-K公式 二阶R

。

非线性电路中的微分方程解法

二阶龙格-库塔公式特别，当l=1即xn+l=xn+1时， 特别， =1即 n+1 c1=c2=1/2,二阶R-K公式就 =1/2,二阶R 是改进欧拉公式。 yn +1 = yn + hk2 如果取l=1/2, =0,c =1, 如果取l=1/2,则c1=0,c2=1, k = f ( x , y ) 1 n n 这时二阶R 这时二阶R-K公式称为变形 h 的欧拉公式，其形式见左边： k 2 = f x 1 , yn + k1 其形式见左边： n+ 2

(8 - 16)

2

从表面上看， 从表面上看，变形的欧拉公式仅含一个斜率值 k2,但k2是通过k1计算出来的，因此每完成一步， 通过k 计算出来的，因此每完成一步， 仍然需要两次计算函数f 的值， 仍然需要两次计算函数f 的值，工作量和改进欧拉 公式相同。 公式相同。