等差数列知识点、例题。练习

数列的概念和性质（一）练习

一、定义：按一定次序排成的一列数叫做数列.：

1. 从函数的角度看，数列可以是定义域为N*(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值;

2. 如果两个数列的数完全相同而顺序不同，则它们不是相同的数列; 3. 在同一个数列中，一个数可以重复出现;

4. 数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做第1项，第2项……. 二、数列的表示：

通项公式：an f(n)1.解析法

递推公式：an 1 f(an)

一、巩固提高

1. 数列1，3，6，10，15，…的通项an可以等于( ) (A)

n2 (n 1) (B)

n(n 1)n(n＋1)2

(C) (D) n 2n＋2 22

2. 数列－1，0，－13，0，－25，0，－37，0，……的通项an可以等于( )

nn

（－1） 1（－1） 1

(6n 5) (B)(6n 5) (A)

22nn

（－1） 1（－1） 1

(6n 5) (D) (6n 5) (C)

22

3..巳知数列{an}的首项a1＝1，an 1 2an 1(n 2)，则a5为( )

(A) 7 (B)15 (C)30 (D)31 二、能力提升

5. 根据数列的前几项，写出数列{an}的一个通项公式: （1）

12345，，，，，……; 3153563992414，，，……; 71125

（2）2，－6，12，－20，30，……; （3）

一、巩固提高 数列的概念和性质（二）练习 1.若数列{an}的前n项和Sn 2n 1，则a1与a5的值依次为( )

2

(A) 2，14 (B)2，18 (C)3，4 (D)3，18 2.若数列{an}的前n项和Sn 4n2 n 2，则该数列的通项公式为( ) (A)

an 8n 5 (n N*) (B) an 8n 5(n N*)

(n 1) 5

(C)an 8n 5(n 2) (D)an *

8n 5(n 2,n N)

5.已知数列{an}满足a1＝1，当n 2时，恒有a1a2……an＝n2，则a5等于( ) (A)

392525 (B) (C) (D) 24916

22

9.设{an}是首项为1的正项数列，且 n 1 an 1 nan an 1an 0（n=1，2，3，…），求它的通项

公式是an.

等差数列

1．定义：an 1 an d(常数)(n N )

2．通项公式：an a1 (n 1)d，推广：an am (n m)d

d=

an a1a am

，d=n是点列（n，an）所在直线的斜率. n 1n m

3．前n项的和：Sn

变式：

n(a1 an)ddn(n 1)

na1 d n2 (a1 )n

2222

a1 anSn

= 2n

4．等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c

5．性质:设{an}是等差数列，公差为d,则

(1)m+n=p+q,则am+an=ap+aq

(2) an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列.

(3) Sn, S2n-Sn, S3n-S2n……组成公差为n2d的等差数列.

(4)当n=2k-1为奇数时，Sn=nak；S奇=kak，S偶=(k-1)ak (ak=a中) 6．等差数列的判定方法(n∈N*)

(1)定义法: an+1-an=d是常数 (2)等差中项法:2an 1 an an 2 (3)通项法:an a1 (n 1)d (4)前n项和法:Sn An2 Bn

7．a1,d,n,an,Sn知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,

三数:a d,a,a d, 四数a 3d,a d,a d,a 3d 8. 若等差数列的项数为2n n N ，则S偶 S奇 ndS9. 若等差数列的项数为2n 1n N ，则S2n 1

S奇

偶

an

an 1；

2n 1 an，且S奇 S偶 an，

S奇S偶

n n 1

10 常用结论 1） 1+2+3+...+n =

2

3

3

3

n(n 1)

2） 1+3+5+...+(2n-1) =n2 2

1 1 2222

1 2 3 n n(n 1)(2n 1) ） 4） 1 2 n n(n 1)3 2 6

5）

1111111

( )

n(n 1)nn 1n(n 2)2nn 2

[注]：熟悉常用通项：9，99，999，… an 10n 1；5，55，555，… an

典型例题

例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q 5n

10 1. 9

例2 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,且a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通项an,bn

例6 在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,an使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,…,bn使这n+2个数成等差数列记An = a1a2a3…an , Bn = b1+b2+b3+…+bn

①求数列{An}和{Bn}的通项;

②当n≥7时,比较An与Bn的大小,

例8 已知数列 an 中，Sn是其前n项和，并且Sn 1 4an 2(n 1,2, )，a1 1

⑴设数列bn an 1 2an(n 1,2, )，求证：数列 bn 是等比数列； ⑵设数列cn

an

,(n 1,2, )，求证：数列 cn 是等差数列； 2n

⑶求数列 an 的通项公式及前n项和

一、选择题

1、等差数列 an 中，S10 120，那么a1 a10 （ ）

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

2、已知等差数列 an ，an 2n 19，那么这个数列的前n项和sn（ ）

A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列 an 的公差d

1

，a2 a4 a100 80，那么S100 2

A．80 B．120 C．135 D．160．

4、已知等差数列 an 中，a2 a5 a9 a12 60，那么S13

A．390

B．195

C．180

D．120

5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）

A. 0 B. 90 C. 180 D. 360

6、等差数列 an 的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )

A. 130 B. 170 C. 210 D. 260

7、在等差数列 an 中，a2 6，a8 6，若数列 an 的前n项和为Sn，则（ ） A.S4 S5 B.S4 S5 C. S6 S5 D. S6 S5

8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ）

A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 二．填空题

1、等差数列 an 中，若a6 a3 a8，则s9 2、等差数列 an 中，若Sn 3n2 2n，则公差d 3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是

4、已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3 a7 12,a4 a6 4，则前10项

的和S10 25

5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个

2

数列的第6项是 三．解答题

1、在等差数列 an 中，a4 0.8，a11 2.2，求a51 a52 a80.

2、设等差数列 an 的前n项和为Sn，已知a3 12，S12>0，S13<0， ①求公差d的取值范围；

②S1,S2, ,S12中哪一个值最大？并说明理由.

3、设等差数列{an}的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：

（1）{an}的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ； （2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.

1-5 B A C B C 6-10 C B A B A 0 6 1650 1. An=0.2n, 393 2.

24

7

d 3,S6 3. -10 3 147