2016新课标名师导学新高考第一轮总复习(文科数学)第58讲 空间向

第58讲

空间向量的概念与运算

【学习目标】 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点 的位置，会推导空间两点间的距离公式. 2.理解空间向量的概念，理解空间向量的基本定理 及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向 量的数量积判断向量的共线与垂直.

【基础检测】 1.设 OABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G → =xOA → +yOB →+ 是 OG1 上一点，且 OG=3GG1,若OG → ,则(x,y,z)为( A ) zOC 1 1 1 3 3 3 A. 4,4,4 B. 4,4,4 1 1 1 2 2 2 C. 3,3,3 D. 3,3,3 2 1 → → → → → → 【解析】OG1=OA+AG1=OA+ × (AB+AC) 3 2 1 → → 1 → → → → → → =OA+ [(OB-OA)+(OC-OA)]= (OA+OB+OC), 3 3 → =3OG → 1=1(OA → +OB → +OC → ), 由 OG=3GG1 知，OG 4 4 1 1 1 ∴(x,y,z)= 4,4,4 .

2.△ABC 的顶点分别为 A(1,-1,2),B(5,-6, 2),C(1,3,-1),则 AC 边上的高 BD 等于( A ) A.5 B. 41 C.4 D.2 5→ =λAC → ,D(x,y,z). 【解析】设AD 则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3). → = (- 4, 4λ ∴ x= 1, y= 4λ - 1, z= 2- 3λ,∴ BD +5,-3λ). 4 →= ∴ 4(4λ + 5) - 3( - 3λ) = 0 , ∴λ = - , ∴ BD 5 9 12 81 144 → |= -4, , ,∴|BD 16+ + =5. 5 5 25 25

3.已知向量 a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y), 1,3 . 并且 a、b 同向，则 x,y 的值分别为________x x + y- 2 y 【解析】由题意知 a∥b,所以 = = . 1 2 3 y=3x, ① 即 2 x +y-2=2x, ② 把①代入②得 x2+x-2=0,(x+2)(x-1)=0, 解得 x=-2,或 x=1. 当 x=-2 时，y=-6;当 x=1 时，y=3. x=-2 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a,两向量 a,b y=-6 反向，不符合题意，所以舍去. x=1 x=1, 当 时，b=(1,2,3)=a,a 与 b 同向，所以 y=3 y=3.2

4.已知 a+3b 与 7a-5b 垂直，且 a-4b 与 7a- 60° 2b 垂直，则 a 与 b 的夹角等于____ .【解析】 由条件知 (a+ 3b)· (7a -5b) = 7|a|2 + 16a· b -15|b|2=0,及(a-4b)· (7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a· b= 0. 1 2 2 两式相减，得 46a· b=23|b| ,∴a· b=2|b| . 代入上面两个式子中任意一个，即可得到|a|=|b|. 1 2 |b| a· b 2 1 ∴cos〈a,b〉=|a||b|= 2 = . |b| 2 ∵ 〈a, b〉 ∈[0°, 180°], ∴a 与 b 的夹角为 60°.

【知识要点】 1.空间向量的有关概念 大小 和 ______ 方向 的量叫做空 (1)在空间中， 我们把具有 ______ |a| 表 间向量，向量的大

小叫做向量的 ___________ 模或长度 ，用 ____ 1 示，长度为零的向量叫做零向量，记为 ____ 0 ;模为 ____ 的向量叫做单位向量. (2)长度相等且方向相同的向量叫做 __________ 一个 相等向量 ， 向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量 _______ 相等 .

2.空间向量的加、减法法则和运算律 (1) 向量加法运算法则是平行四边形 __________ 法则或 ________ 三角形 → =OA → +AB → ;②减法法则：BA →= 法则，即①加法法则：OB → -OB →. OAb+a ;②加 (2)运算法则：①加法交换律： a+ b=_______ a+(b+c) . 法结合律：(a+b)+ c= ____________

(3)线段 AB 的中点公式：设 O 是空间任意一点，点 P 1 → → (OA+OB) → = _____________ 2 是线段 AB 的中点，则OP .

3.向量的数乘运算 (1)实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍是一个向量，称 |λa| ,当 λ>0 数乘运算 ，向量 λa 的长度为 _____ 为向量的___________ 时与 a 同向，当 λ< 0 时与 a 反向. +λb (2)运算法则：①数乘分配律：λ(a+ b)=λa _________ ; λμ) a ②数乘结合律：λ (μa)=( _________ .

4.平行向量(共线向量 ) (1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ____________ 平行或重合 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a 平行于 b 记作 a∥ b. (2)共线向量定理：对空间任意两个向量 a(a≠ 0), b, λa a∥ b 的充要条件是存在唯一的实数 λ 使 b= ______ .

5.向量与平面平行 (1)如果表示向量 a 的有向线段所在直线与平面 α____ 平行 或 a 在 α 平面 ____ 内 ，我们就说向量 a 平行于平面 α,记作 a∥ α . (2)共面向量：我们把平行于同一 _______ 平面 的向量叫做 共面向量. (3)共面向量定理：如果两个向量 a, b 不共线，则向 量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在惟一的实数对 x, y,使 p= ___________ . xa+yb 6.空间向量基本定理 (1)基本定理：如果三个向量 a,b,c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在有序实数组 {x , y , z} ,使 p = xa+yb+zc . ______________ (2)三个向量 a, b, c 不共面，我们把{a, b, c}叫做 基向量 . 空间的一个 _______ 基底 ， a, b, c 都叫做 _________

7.空间两向量的数量积 (1)向量的夹角：已知两个非零向量 a, b,在空间任 → = a,OB → = b,则∠ AOB 叫做向量 a 与 b 取一点 O,作OA 的夹角，记作〈 a, b〉 . 0 ≤〈 a,b〉≤ ___ ①规定 ___ ; π ,因而〈 a,b〉=〈 b,a〉

π ②如果〈 a,b〉= ____ 2 ,则称 a 与 b 互相垂直，记作

a⊥ b; ③如果非零向量 a,b 同向，则〈 a, b〉= ____ 0 ;如 果非零向量 a, b 反向，则〈 a, b〉= ____ π . a·a= a2 . (2)向量的模长公式： |a|= ______________ (3)向量的数量

积定义：|a ||b |cos 〈 a,b〉叫做向量 a, |a||b|cos〈a,b〉 . b 的数量积，记作 a· b,即 a· b= __________________ (4)a⊥ b a· b= 0(a, b 为非零向量 ).

8.空间向量的坐标运算 (1)若 O 为原点，A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间任意两点，则 → = ____________ → = _____________________ (x1,y1,z1) ,AB (x2-x1,y2-y1,z2-z1). OA (2)各种运算的坐标表示：设 a= (x1, y1, z1), b= (x2, y2, z2),则① a+ b=(____________________ x1+x2,y1+y2,z1+z2; ) ② a- b= _____________________ (x1-x2,y1-y2,z1-z2); x1x2+y1y2+z1z2 . ③λ a= __________________ ;④ a· b= ________________ (λx1,λy1,λz1) (3)平行、垂直、模长、夹角的坐标表示：

x1 y1 z1 = = =λ(b 不与坐标轴平行)或 a=λb ① a∥ b ____________________________________ ; x2 y2 z2 2 2 2 ② a⊥ b _________________ ;③ | a | = ____________ x + y + z x1x2+y1y2+z1z2=0 1 1 1 ; x1x2+y1y2+z1z22 2 2 2 2 2 x + y + z · x + y + z 1 1 1 2 2 2 ④ cos 〈 a, b〉= ___________________________ ; (4)空间两点的距离公式： 设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间任意两 2 2 2 ( x - x ) +( y - y ) +( z - z ) 点，则 |AB|= _______________________________________ . 2 1 2 1 2 1

一、空间向量的坐标运算 例1已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1, 5). → ,AC → 为边的平行四边形的面积； (1)求以AB → ,AC → 垂直，求向量 a 的坐标. (2)若|a|= 3,且 a 分别与AB 【解析】(1)由题意可得： → =(-2,-1,3),AC → =(1,-3,2), AB

→ ·AC → -2+3+6 7 1 AB → ,AC → 〉= ∴cos〈AB = = = . 14 2 → → 14 × 14 |AB||AC| 3 → → ∴sin〈AB,AC〉= , 2 → ,AC → 为边的平行四边形的面积为 ∴以AB 1→ 3 → → → S=2× |AB|·|AC|·sin〈AB,AC〉=14× =7 3.