全程复习方略（文理通用）2015届高三数学一轮复习 2.6幂函数与二(2)

且-=-1,所以a=1,b=2.

所以f(x)=x2

+2x+1,单调减区间为(-∞,-1], 单调增区间为[-1,+∞).

(2)f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立, 转化为x2

+x+1>k在[-3,-1]上恒成立.

设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则g(x)在[-3,-1]上递减. 所以g(x)min=g(-1)=1.

所以k<1,即k的取值范围为(-∞,1). 15.(能力挑战题)设a为实数,记函数f(x)=a++的最大值为g(a).

(1)设t=+,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t).

(2)求g(a). (3)试求满足g(a)=g的所有实数a.

【解析】(1)因为t=+

,所以要使t有意义,必须1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1.

因为t2

=2+2

∈[2,4],且t≥0,① 所以t的取值范围是[,2].

由①得:=t2

-1,

所以m(t)=a

+t=at2

+t-a,t∈[

,2].

(2)由题意知g(a)即为函数m(t)=at2

+t-a,t∈[,2]的最大值,

因为直线t=-是抛物线m(t)=at2

+t-a的对称轴, 所以可分以下几种情况进行讨论: ①当a>0时,函数y=m(t),t∈[,2]的图象是开口向上的抛物线的一段,

由t=-<0知m(t)在t∈[,2]上单调递增,

故g(a)=m(2)=a+2; ②当a=0时,m(t)=t,t∈[

,2],有g(a)=2;

③当a<0时,函数y=m(t),t∈[

,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,

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若t=-∈(0,]即a≤-时,

g(a)=m()=

, 若t=-∈(,2],即a∈时,

g(a)=m

=-a-,

若t=-∈(2,+∞)即a∈时,

g(a)=m(2)=a+2.

综上所述,有g(a)=

(3)当->;g=,显然无解. 当-

,-∈

,

所以-a≠-

,

g(a)=-a->2=;

g=,显然无解.

当a>0时,>0, 由g(a)=g知:a+2=+2,故a=1. 当a≤-时,∈[-,0),a·=1,

故a≤-1或≤-1,从而有g(a)=或g=

,

要使g(a)=g,必须有a≤-,≤-, 即-≤a≤-, 此时,g(a)==g

.

综上可知a∈

或a=1.

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