数学北师大版选修2-2例题与探究 第二章§5简单复合函数的求导法

高手支招3综合探究

应用复合函数的求导法则时,应该注意的事项.

(1)首先,常数以及基本初等函数的导数我们已经会求了.其次,应用函数的和、差、积、商的求导法则,常数与基本初等函数的和、差、积、商的导数也会求了.所以,如果一个函数能分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商,我们便可求它的导数.

(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数,注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数. (3)应用复合函数求导法则时,首先要分析所给函数可看作哪些函数复合而成,或者说,所给函数能分解成哪些函数.如果所给函数能分解成比较简单的函数,而这些简单函数的导数我们已经会求,那么应用复合函数求导法则就可以求所给函数的导数了.

(4)分清复合函数的复合关系,选好中间变量.根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数,并把中间变量换成自变量的函数.如何设中间变量,弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成,把哪一部分看成一个整体.求导的次序是由外向内.对于复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量,将复合函数分解成为较简单的函数,然后再用复合函数的求导法则求导.

(5)求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量.一些根式函数或分母上是幂函数,分子为常数的分式函数,通常经过变形,转化成幂函数,这样求导起来会比较方便,利用幂函数的求导公式. 高手支招4典例精析

【例1】指出下列函数的复合关系. (1)y=(2-x2)3;(2)y=sinx2;(3)y=cos(

?-x). 4思路分析：由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程. 解：(1)y=(2-x2)3由y=μ3,μ=2-x2复合而成. (2)y=sinx2由y=sinμ,μ=x2复合而成. (3)y=cos(

??-x)由y=cosμ,μ=-x复合而成. 44【例2】求下列函数的导数: (1)y=

?1;(2)y=cos(3x-); 6(1?3x)4(3)y=sin2(2x+

?);(4)y=x1?x2. 3思路分析：把一部分量或式子暂时当作一个整体,这个整体就是中间变量.求导数时需要记住中间变量,注意逐层求导,不能遗漏.求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数. 解：(1)设μ=1-3x,y=μ-4,则y′x=y′μ·μ′x=-4μ-5·(-3)=

12;

(1?3x)5??,y=cosμ,则y′x=y′μ·μ′x=-sinμ·3=-3sin(3x-); 66???(3)设y=μ2,μ=sinv,v=2x+,则y′x=y′μ·μ′v·v′x=2μ·cosv·2=2sin(2x+)·cos(2x+)·2

333(2)设μ=3x-

=2sin(4x+

2?); 32222(4)y′=(x1?x)′=x′1?x+x·(1?x)′=1?x+【例3】求下列函数的导数: (1)y=xsinx+

x21?x2?1?2x21?x2.

x;(2)y=

lnxx

-2. x?1思路分析：利用函数的和、差、积、商的导数运算法则及基本导数公式求导. 解：(1)y′=(xsinx)′+(

x)′=sinx+xcosx+

12x;

11(x?1)?lnx1??lnxlnxxxx

?2ln2?(2)y′=()′-(2x)′=x-2ln2. 22x?1(x?1)(x?1)【例4】求下列函数的导数〔其中f(x)是可导函数〕. (1)y=f(

1);(2)y=f(x2?1). x思路分析：对于上述抽象函数的求导,一方面要从形式上把握其结构特征;另一方面要充分运用复合函数的求导法则. 解：(1)y′=［f(

11111)］′=f′()·()′=-2f′(); xxxxx(2)y′=［f(x??1)］′=f′(x??1)·(x??1)′

?1=f′(x?1)·(x2+1)2·2x

21?=

xx2?1f′(x??1).

【例5】求下列函数的导数: (1)y=sinx2;(2)y=3x?1;(3)y=tan2x.

思路分析：求复合函数的导数的关键在于把复合函数正确地分解成基本初等函数或基本初等函数的和、差、积、商,然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算,最后把引进的中间变量代换成原来的自变量. 解：(1)设y=sinu,u=x2,则

y′x=y′u·u′x=(sinu)′·(x2)′=2xcosu=2xcosx2; (2)设y=u,u=3x+1,则 y′x=y′u·u′x=(u)′·(3x+1)′=

12u·3=

323x?1;

(3)设y=u2,u=tanx,则

y′x=y′u·u′x=(u2)′·(tanx)′=2usec2x=2tanx·sec2x. 【例6】求函数y=cos2(2x-

?)的导数. 4思路分析：有时,计算函数的导数需要同时运用函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则.

??)·［cos(2x-)］′ 44???=2cos(2x-)·［-sin(2x-)］·(2x-)′

444?=-2sin(4x-)

2?=2sin(-4x)=2cos4x.

2解：y′=2cos(2x-

1?cos2x【例7】求函数y=的导数.

sinx思路分析：在求函数的导数时,为计算简便起见,有时还需要先把函数变形为易于求导的形式,然后再进行求导.

(1?cos2x)'sinx?(1?cos2x)(sinx)'解：y′= 2sinx2cosx(cosx)'sinx?(1?cos2x)cosx=

sin2x2sin2xcosx?cosx(1?cos2x)=? 2sinxcosx(1?cos2x)=?2cosx?.

sin2x高手支招5思考发现

1利用复合函数的求导法则,关键是弄清复合函数的复合关系和由哪些基本初等函数复合而成.如果我们对复合函数的分解比较熟练后,就不必再把中间变量写出来,只要记在心中,按照复合函数的求导法则,由外向里,逐层求导即可.

2.求复合函数的导数关键在于搞清函数的复合关系,从外层到内层一层层地求导,不要遗漏,直到对原来的自变量求导为止.容易犯的一个错误是次序前后颠倒,即没有弄清各函数之间的复合关系.

3.当函数既有四则运算又有复合运算时,要根据题目所给的函数表达式决定是先用四则运算求导法则还是先用复合函数求导法则.