2016中考数学复习专题—二次函数

2016中考数学复习专题—函数二

知识点13、二次函数的定义

形如：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）那么y叫做x的二次函数，它常用的三种基本形式。

一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0） 交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（ a≠0，x1、x2是图象与x轴交点的横坐标） 知识点14、二次函数的图象与性质

bb4ac?b2,二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象是以（?）为顶点，以直线y＝?2a2a4a2

为对称轴的抛物线。

b4ac?b2当a＞0，在x＝?时，y有最小值，y最小值＝，

2a4ab4ac?b2当a＜0，在x＝?时， y有最大值，y最大值＝。

2a4a知识点15、二次函次图象的平移

二次函数图象的平移只要移动顶点坐标即可。

知识点16、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的交点。

（1）与y轴永远有交点（0，c）

（2）在b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，A（x1，0）、B（x2，0）这两点距离为AB＝|x1－x2|，（x1、x2是ax2＋bx＋c＝0的两个根）。

在b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点。 在b2－4ac＜0时，则抛物线与x轴没有交点。 知识点17、求二次函数的最大值

b4ac?b2,常见的有两种方法：（1）直接代入顶点坐标公式（?）。 2a4a（2）将y＝ax2＋bx＋c配方，利用非负数的性质进行数值分析。 两种方法各有所长，第一种方法过程简单，第二种方法有技巧。 【例题精讲】

例1、如图，直线y?x?m和抛物线y?x2?bx?c都经过点A(1，0)，B(3，2)． ⑴ 求m的值和抛物线的解析式；

⑵ 求不等式x2?bx?c?x?m的解集．(直接写出答案)

例2、抛物线y=－x2+（m－1）x+m与y轴交于（0，3）点，（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方?（4）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？

1、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、 C（0，—3）两点，与x轴交于另一点B． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

y

x＝1 B x A O C

2(m?1)x?(m?2)x?1?0（m为实数） x例2、已知：关于的一元二次方程

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

2y?(m?1)x?(m?2)x?1总过x轴m（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线

上的一个固定点；

2(m?1)x?(m?2)x?1?0有两个不相等的整xm （3）若是整数，且关于的一元二次方程

2y?(m?1)x?(m?2)x?1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式． 数根，把抛物线

0)B(1，，0)C(0，?2)三点． 7．如图，抛物线经过A(4，，

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM?x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

O B 1 ?2 C 4 A x y 二次函数的综合题及应用

【重点考点例析】

考点一：确定二次函数关系式

2

例1 （2013?牡丹江）如图，已知二次函数y=x+bx+c过点A（1，0），C（0，-3） （1）求此二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．

思路分析：（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，-3）代入）二次函数y=x+bx+c中，即可算出b、

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c的值，进而得到函数解析式是y=x+2x-3；

（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 对应训练

2

1．（2013?湖州）已知抛物线y=-x+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标．

考点二：二次函数与x轴的交点问题

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例2 （2013?苏州）已知二次函数y=x-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关

2

于x的一元二次方程x-3x+m=0的两实数根是（ ） A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3

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思路分析：关于x的一元二次方程x-3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x-3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x

2

的一元二次方程x-3x+m=0的两实数根． 对应训练

2

2．（2013?株洲）二次函数y=2x+mx+8的图象如图所示，则m的值是（ ） A．-8 B．8 C．±8 D．6

2

考点四：二次函数综合性题目 2例4 （2013?自贡）如图，已知抛物线y=ax+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA= 1． 2（1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

思路分析：（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； （3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．

点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标． 对应训练

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4．（2013?张家界）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC． （1）求直线CD的解析式； （2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO； （4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值 …… 此处隐藏：1558字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……