2008年德清县初中数学通讯赛试卷（二）(2)

?△CDE也是正三角形 ?CD?DE?CE,?2?60??? 3’

??ADC?60???BDC??BDE

?△ADC?△BDE(SAS)?????????????? 4’

?AC?BE?BC?CE 又?CE?CD

BC?DC?AC???????????????????????? 3’故：

15．（1）如图，延长FE,交AC于D,显然DF?BC,则Rt?ADF ∽ Rt?ACB ? 2’ 注意到AE?AC?X,知:DE?x2?(x?y)2?2xy?y2 于是：

2xy?y?yx?y ??2x?2y?xy?x2xy?y2?4’x x2D C

2A F

y G

B

两边平方，并整理得

E H

(x2?2x?2)y2?(x3?2x2?4x)y?2x2?0???????2’ 解得：y?2x（另一解y?x舍去）?????? 2’ 2x?2x?222???? 3’ 2x??2(x?2)2?22?2xx（2）由第（1）题得y?当x?22?2?1 ，即x?2时，y有最大值?22?2x故当x?2时，y最大值为2?1????????????????? 2’ 16．解：设两个不同的自然数x,y，则A?x?y，G?xy 2?x?y?2A???????????????????????????? 3’ 2xy?G?以x,y为两根的二次方程t2?2At?G2?0???????????????? 2’

?x,y是自然数

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???(2A)2?4G2?4(A2?G2)?4(A?G)(A?G)

又设两位数A?10m?n 则G?10n?m (m,n是数字 )故??4(11m?11n)(9m?9n)?36?11?(m?m)(m?n)是完全平方数 ??? 3’ 又?1?m?n?18 ， 0?m?n?8

?m?n?11?m?n?11 （不合） ????????????? 3’ ??或?m?n?1m?n?4??解得m?6,n?5

于是A=65 G=56????????2’

t2?130t?562?0 解得t1?98，t2?32

答：两个不同自然数为98和32????????2’

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