2016北京朝阳区高三二模理科数学及答案(3)

??????????x2?4x?4y24x0y0?8y000又因为F2P?(x0?1,y0)，F2Q?(0?1,)， 且 22224y0?x04y0?x022x0?4x0?4y04x0y0?8y0(4x0?8y02)?(4x0?8)(x0?1)(?1)?y0??(x0?1)?y0?2222224y0?x04y0?x04y0?x0

4x0?8y02?(4x02?4x0?8) ?y0?224y0?x0?8y02?4x02?8?4(2y02?x02)?8?4?2?8?y0??y??y??0． 002222224y0?x04y0?x04y0?x0??????????所以F2P//F2Q．所以点Q,P,F2三点共线．

综上所述，点Q,P,F2三点共线． …………………………………14分 20．（本小题满分13分）

证明：（Ⅰ）当n?2时，S?{1,2,3,4}，令S1?{1,4}，S2?{2,3},

则S?S1?S2, 且对?x,y?Si(i?1,2),x?y，都有x?y?Si，

所以S具有性质P．相应的P子集为S1?{1,4}，S2?{2,3}． ………… 3分

3n?1),由已知x?y?T, （Ⅱ）①若x,y?T(1?y?x?23n?1?1?3n,所以x?y?T?．所以x?y?T?T'． 又x?y?23n?1②若x,y?T?,可设x?s?3,y?r?3，r,s?T,且1?r?s?，

2nn3n?1此时x?y?(s?3)?(r?3)?s?r??1?3n．

2nn所以x?y?T'，且x?y?s?r?T．所以x?y?T?T?． ③若y?T, x?s?3?T?,s?T，

n3n?13n?33n?1n则x?y?(s?3)?y?(s?y)?3?(1?, )?3??222nn所以x?y?T．

11

又因为y?T,s?T，所以s?y?T．所以x?y?(s?3n)?y?(s?y)?3n?T?． 所以x?y?T?T'．

综上，对于?x,y?T?T'，x?y，都有x?y?T?T'． …………… 8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．

（1）由（Ⅰ）可知当n?2时，命题成立，即集合S具有性质P．

3k?1}?S1?S2???Sk， （2）假设n?k(k?2)时，命题成立．即S?{1,2,3,?,2且Si?Sj??(1?i,j?n,i?j)，?x,y?Si(i?1,2,?,k),x?y，都有x?y?Si． 那么 当n?k?1时，记Si??{s?3|s?Si},

k，

???S1?S1?,S2???S2?S2?, 并构造如下 k+1个集合：S1???Sk?Sk?， ,Sk3k?13k?13k?1???1?{Sk?1,?2,?,2??1}，

222?显然Si???S?j??(i?j)．

3k?1?13k?13k?1?1?????Sk???Sk???1?{1,2,3,?,?3??1，所以S1???S2}． 又因为

222下面证明Si￠￠中任意两个元素之差不等于Si￠￠中的任一元素(i?1,2,?,k?1)．

3k?13k?13k?1???1,1?r?s??r,?s?Sk?1, ①若两个元素

2223k?13k?13k?1则(, ?s)?(?r)?s?r?2223k?13k?1???1． ?s)?(?r)?Sk所以(22②若两个元素都属于Si???Si?Si?(1?i?k),

由（Ⅱ）可知，Si??中任意两个元素之差不等于Si??中的任一数(i?1,2,?,k?1)． 从而，n?k?1时命题成立．

综上所述，对任意正整数n?2，集合S具有性质P．………………………13分

12