2016北京朝阳区高三二模理科数学及答案

2016北京朝阳区高三二模理科数学考试

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

x1．已知集合A?x1?2?4，B?xx?1?0，则AIB＝

????A．x1?x?2 B．x0?x?1 C．x0?x?1 D．x1?x?2 2．复数z?????????i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于 1?i A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为 A．6 B．10 C．14 D．15 4．已知非零向量a，b，“a∥b”是 “a∥(a?b)”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．同时具有性质:“①最小正周期是?； ②图象关于直线x?结束 开始 k?2,S?1 k?k?1 k?5? 否 输出S的值 是 S?S?k ?对称； 3 ③在区间??5??,??上是单调递增函数”的一个函数可以是 ?6?x2???) B．y?sin(2x?) 66??C．y?cos(2x?) D．y?sin(2x?)

36?x?1,x?2,6．已知函数f(x)??(a?0且a?1)的最大值为1,则a的取值范围是

2?logx,x?2a?A．y?cos(?1

A．[,1) B．(0,1) C．(0,] D．(1,??)

7．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检 查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是

A．48 B．72 C．84 D．168

8．已知正方体A的棱长为2，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的BCD?ABCD1111表面上，且EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是 A．

12129 B．23 C．33 D．42 2

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

x2?y2?1的渐近线方程是 ；若抛物线y2?2px(p?0)的焦点与 9．双曲线C:3双曲线C的一个焦点重合，则p? ．

10．如图，P为⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC

AODEC 与⊙O相交于B,C两点，且PC?3PA，D为线段BC的中点， AD的延长线交⊙O于点E．若PB?1，则PA的长为______；

PBAD?DE的值是 ．

11．已知等边?ABC的边长为3，D是BC边上一点，若BD?1，则

uuuruuurAC?AD的值是______．

?x?0,?y?x,?12．已知关于x,y的不等式组?所表示的平面区域D为三角形区域，则实数k的取值范围

x?y?2,???2x?y?k是 ．

13．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一

年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设

f(n)表示前n年的纯利润（f(n)=前n年的总收入－前n年的总费用支出－投资额），则f(n)?

（用n表示）；从第 年开始盈利.

14．在平面直角坐标系xOy中，以点A(2,0)，曲线y?1?x2上的动点B，第一象限内的点C，

2

构成等腰直角三角形ABC,且?A?90?，则线段OC长的最大值是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

在?ABC中，角A，B，C的对边分别是

a，b，c，已知cos2A??1，3c?3,sinA?6sinC．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ) 若角A为锐角，求b的值及?ABC的面积．

16．（本小题满分13分）

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情

，，五个级别规定如下： 况的概念性指数值．交通指数范围为(010)交通指数 级别 (0,2) 畅通 [2,4) 基本畅通 [4,6) 轻度拥堵 [6,8) 中度拥堵 [8,10) 严重拥堵 某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段(早晨7点至9点)的交通指数(平均值)，其统计结果如直方图所示．

（Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰 时段（早晨7点至9点）中度拥堵的 天数；

（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为： 畅通时30分钟，基本畅通时35分钟， 轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50 分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图 中各种路况的频率作为每天遇到此种

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 交通指数值

0.10 0.05 0.25 0.20 0.15

频率 组距 路况的概率，求此人上班路上所用时间X的数学期望．

17．（本小题满分14分）

3

如图1，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，BC?1AD?2，?A?60?， E为AD中2点，点O,F分别为BE,DE的中点．将?ABE沿BE折起到?A1BE的位置，使得平面A1BE?平面

BCDE（如图2）．

（Ⅰ）求证：AO?CE； 1（Ⅱ）求直线A所成角的正弦值； 1B与平面ACE1P，使得BP//平面AOF（Ⅲ）侧棱AC? 若存在，求出1上是否存在点1存在，请说明理由．

A1 A

E

D

E O B

图1

18． （本小题满分13分）

已知函数f(x)??C

B

图2

C

F A1P的值；若不 AC1D

12x?(a?1)x?（1?a)lnx，a?R． 2（Ⅰ）当a?3时，求曲线C:y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

??1?x?2,?（Ⅱ）当x??1,2?时，若曲线C:y?f(x)上的点(x,y)都在不等式组?x?y,所表示的

?3?y?x??2平面区域内，试求a的取值范围．

19．（本小题满分14分）

4

x2?y2?1上，过点P的直线l的 在平面直角坐标系xOy中，点P(x0,y0)(y0?0)在椭圆C:2方程为

x0x?y0y?1． 2（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）若直线l与x轴、y轴分别相交于A,B两点，试求?OAB面积的最小值；

（Ⅲ）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点Q与点F1关于直线l对称，求证：点Q,P,F2

三点共线．

20．（本小题满分13分）

??3n?1?? 已知集合S??k1?k?且n?N?)．若存在非空集合S1,S2,?,Sn，,k?N??(n?2，

2????使得S?S1?S2???Sn，且Si?Sj??1并?xy,?Sii(?12,,,)n?xy?(?,ij?,ni)?j，都有x?y?Si，则称集合S具有性质P，Si（i?1,2,?,n）称为集合S的P子集． （Ⅰ）当n?2时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集S1,S2；

，

（Ⅱ）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设T??{s?3|s?T}，

求证：?x,y?T?T?，x?y，都有x?y?T?T?； （Ⅲ）求证：对任意正整数n?2，集合S具有性质P．

n

5