2013届高考数学专题训练试题8

第一部分 专题二 第2讲 数列的综合应用

(限时60分钟，满分100分)

一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)

1x,1－x,2

1．命题甲：()22x成等比数列；命题乙：lgx，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则

2甲是乙的( )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 解析：命题甲：(21－x)2＝2－x·2x2， 即2(1－x)＝－x＋x2， 得：x＝－2或x＝1.

命题乙：2lg(x＋1)＝lgx＋lg(x＋3)， 即(x＋1)2＝x(x＋3)，得：x＝1. 故甲?/乙，乙?甲， 故甲是乙的必要非充分条件． 答案：B

2．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( ) A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 1解析：设a1＝x，且x≠0，则S3＝x＋1＋，

x111

由函数y＝x＋的图象知：x＋≥2或x＋≤－2，

xxx∴y∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：D

3．首项为b，公比为a的等比数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，点(Sn，Sn

＋1

)在( )

A．直线y＝ax＋b上 B．直线y＝bx＋a上 C．直线y＝bx－a上 D．直线y＝ax－b上 b?1－a?

解析：当a≠1时，Sn＝，

1－ab?1－an＋1?Sn＋1＝，

1－a

n

b?1－a?b?1－a?

∴点(Sn，Sn＋1)为：(，)，

1－a1－a

显然此点在直线y＝ax＋b上．当a＝1时，显然也成立． 答案：A

35

4．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)(x∈R)，且f(1)＝，则数列{f(n)}(n∈N*)前20项

22的和为( )

A．305 B．315 C．325 D．335 535

解析：因为f(1)＝，f(2)＝＋，

2223353

f(3)＝＋＋，?，f(n)＝＋f(n－1)，

222253

所以{f(n)}是以为首项，为公差的等差数列，

22520?20－1?3

所以S20＝20×＋×＝335.

222答案：D

5．等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( )

nn＋1

解析：∵Sn＝na1＋

n?n－1?d2d

d，∴Sn＝n＋(a1－)n，又a1＞0，公差d＜0，所以点(n，222

Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．

答案：C

6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，?这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378

解析：根据图形的规律可知第n个三角形数为an＝

n?n＋1?2

，第n个正方形数为bn＝n，2

由此可排除D(1 378不是平方数)．将A、B、C选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C选项．

答案：C

二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)

7．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an(n∈N)，则a2009＝________， a2014＝________.

解析：a2009＝a4×503－3＝1，a2014＝a1007＝a252×4－1＝0. 答案：1 0

Sn

8．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝2，如果存在正

n整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．

解析：由a4－a2＝8，得2d＝8，∴d＝4. 又a3＋a5＝26，得a4＝13，∴a1＝1. 于是Sn＝n＋

n?n－1?

·4＝(2n－1)n， 2

*

Sn1

Tn＝2＝2－＜2.

nn

要使M≥Tn恒成立，只需M≥2， ∴M的最小值是2. 答案：2

1

9．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为________．

5解析：∵Sn＝t·5∴a1＝S1＝

n－2

1

－， 5

t－1

， 5

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 t·5n1t·5n14t·5n＝－－(－)＝. 2551255125又∵{an}为等比数列，∴q＝

an＋1

＝5， an

4t

a24t5∴＝5，即＝＝5，∴t＝5. a1t－1t－1

5

答案：5

三、解答题(本大题共3个小题，共46分)

10．(本小题满分15分)已知数列{an}的首项a1＝1，且点An(an，an＋1)在函数y＝图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：弦AnAn＋1的斜率随n的增大而增大． 解：(1)∵an＋1＝∴∴

11

an

且a1＝1， an＋1

x的x＋1

1＝1＋，

anan＋1

1

－＝1， an＋1an

1

∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列． an11∴＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝. ann

111(2)证明：∵an＝，an＋1＝，an＋2＝，

nn＋1n＋2∴弦AnAn＋1的斜率

11

－

an＋2－an＋1n＋2n＋1nkn＝＝＝.

an＋1－an11n＋2

－n＋1n∴kn＋1－kn＝＝＝n＋1n

－ n＋3n＋2

?n＋1??n＋2?－n?n＋3?

?n＋3??n＋2?2

＞0，

?n＋2??n＋3?

∴弦AnAn＋1的斜率随n的增大而增大．

11．(本小题满分15分)已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋?＋a10＝144. (1)求数列{an}的通项an； (2)设数列{bn}的通项bn＝恒成立，求m的最大值．

解：(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋?＋a10＝144， ∴S10＝145.

1

，记Sn是数列{bn}的前n项和，若n≥3时，有Sn≥manan＋1

∴S10＝?a1＋a10?×10

＝145.

2

∴a10＝28.∴28＝1＋(10－1)×d.

∴d＝3.∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2. (2)∵bn＝

11

＝ anan＋1?3n－2??3n＋1?

111＝(－)， 33n－23n＋1

1111111111

∴Sn＝b1＋b2＋?＋bn＝(1－＋－＋－＋?＋－)＝(1－)＝

34477103n－23n＋133n＋1n

. 3n＋1

n＋1n1

∵Sn＋1－Sn＝－＝>0，

3n＋43n＋1?3n＋1??3n＋4?∴数列{Sn}是递增数列． 当n≥3时，(Sn)min＝S3＝依题意，m≤

3. 10

33，∴m的最大值为. 1010

nπnπ

12．(理)(本小题满分16分)数列{an}满足a1＝0，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋4sin2，

22n＝1,2,3，?.

(1)求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；

(2)设Sk＝a1＋a3＋?＋a2k－1，Tk＝a2＋a4＋?＋a2k，Wk＝的所有k的值，并说明理由．

解：(1)因为a1＝0，a2＝2，

ππ

所以a3＝(1＋cos2)a1＋4sin2＝a1＋4＝4，

22a4＝(1＋cos2π)a2＋4sin2π＝2a2＝4. 一般地，当n＝2k－1(k∈N*)时

?2k－1?π2k－1

a2k＋1＝[1＋cos2]a2k－1＋4sin2π＝a2k－1＋4，即a2k＋1－a2k－1＝4.

22所以数列{a2k－1}是首项为0，公差为4的等差数列， 因此a2k－1＝4(k－1)． 当n＝2k(k∈N*)时，

2kπ2kπ

a2k＋2＝(1＋cos2)a2k＋4sin2＝2a2k.

22

所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k＝2k.

2Sk

(k∈N*)，求使Wk＞12＋Tk