SPSS 正态性检验方法

正态性检验方法的比较 理论部分

正态分布是许多检验的基础,比如 F 检验, t 检验,卡方检验等在总体不是正太分 布是没有任何意义。因此,对一个样本是否来自正态总体的检验是至关重要的。当然, 我们无法证明某个数据的确来自正态总体,但如果使用效率高的检验还无法否认总体 是正太的检验,我们就没有理由否认那些和正太分布有关的检验有意义,下面我就对 正态性检验方法进行简单的归纳和比较。

一、图示法 1. P-P图

以样本的累计频率作为横坐标,以按照正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标, 以样本值表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正态分布,则样本点应围绕第一象 限的对角线分布。

2. Q-Q图

以样本的分位数作为横坐标,以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标,把 样本表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正太分布,则样本点应围绕第一象限的 对角线分布。

以上两种方法以 Q-Q 图为佳,效率较高。 3. 直方图(频率直方图

判断方法:是否以钟型分布,同时可以选择输出正态性曲线。 4. 箱线图

判断方法:观察矩形位置和中位数 , 若矩形位于中间位置且中位数位于矩形的中间 位置,则分布较为对称,否则是偏态分布。

5. 茎叶图

判断方法:观察图形的分布状态 , 是否是对称分布。 二、偏度、峰度检验法(冒牌 K-S 检验法: 1. S, K 的极限分布 样本偏度系数 ( 3 32

2B S B =; 该系数用于检验对称性, S>0时, 分布呈正偏态, S<0时, 分布呈负偏态。 样本峰度系数 ( 4 2 23B K B =

-;该系数用于检验峰态, K>0时为尖峰分布, S<0时为 扁平分布;当 S=0, K=0时分布呈正态分布。 0H:F(x服从正态分布 1H :F(x不服从正态分布 当原假设为真时,检验统计量 ~N(0,1 ~N(0,1

对于给定的 α, R ||={| >λ?| >λ} 其中 14 u α - λ=

2. Jarque-Bera检验(偏度和峰度的联合分布检验法 检验统计量为 JB 22164n k S K -??= + ??? (2

2χ~, JB 过大或过小时,拒绝原假设。 三、非参数检验方法

1. Kolmogorov-Smirnov正态性检验 (基于经验分布函数(ECDF 的检验 ((0max ||n D F x F x =-

(n F x 表示一组随机样本的累计概率函数, (0F x 表示分布的分布函数。 当原假设为真时, D 的值应较小,若过大,则怀疑原假设,从而,拒绝域为 {}R D d =>。对于给定的 α, {}p P D d α=>=,又 ?{}n n

p P D D =≥ 2. Lilliefor正态性检验 该检验是对 Kolmogorov-Smirnov 检验的修正,参数未知

时,由 22??, S μσ==可计算得检验统计量 ?n D 的值。 3. Shapiro-Wilk(W检验 检验统计量: ( ( ( ((( 2 1 2 2 1 1 n i i i n n i i

i i a a X X W a a

X X ===??--?? ?? =--∑∑∑

当原假设为真时, W 的值应接近于 1,若值过小,则怀疑原假设,从而拒绝域为 R {}W c =≤。在给定的 α水平下 P {}W c ≤=α。

4. 2χ拟合优度检验 (也是基于经验分布函数(ECDF 的检验 检验统计量为 22 2 11( ( k k

i i i i i i i i f f np n p p n np χ==-=-=∑∑1 k ~χ(- 22 2 11?( ?( ??k k

i i i i i i i i f f np n p

p n np χ==-=-=∑∑1 k r ~χ(-- r 是被估参数的个数