基础实验二 定积分数值计算

基础实验二 定积分数值计算

一、实验目的

学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼兹公式。

二、实验材料

2.1定积分的数值计算

计算定积分?abbf(x)dxn的近似值，可将积分区间n等分而得矩形公式

b?ab?a]nn

或

?af(x)dx??i?1f[a?(i?1)n?af(x)dx??i?1f[a?in]n

bb?ab?a也可用梯形公式近似计算

?baf(x)dx?[?i?1f(a?in?1b?af(a)?f(b)b?a)?] n2n 如果要准确些，可用辛普森公式

n?1n?af(x)dx?[2?i?1f(a?in)?4?i?1f(a?(i?2)2)?f(a)?f(b)]6n

bb?a1b?ab?asinxdx 对于?0，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为

a=0;b=1;k=10;

1 f[x_]:=Sin[x];

d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）

s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];（取小区间左端点的矩形公式） s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （取小区间中点的矩形公式）

s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k]; （取小区间右端点的矩形公式） s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （梯形公式）

s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}]

+4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];（辛普森公式）

r1[m_]:=d-s1[m];r2[m_]:=d-s2[m];r3[m_]:=d-s3[m];r4[m_]:=d-s4[m];r5[m_]:=d-s5[m];（误差）

t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r5[m]},

{m,100,1000,100}]

dxxdx?0xdx 利用以上程序计算?0、?0、，并对几个公式比较。

11122.2可积条件

如果函数f(x)在区间?a,b?上连续，则f(x)在区间?a,b?上可积。反之不然。

2.3牛顿-莱布尼兹公式

设函数f(x)在?a,b?上连续，而且F(x)是f(x)的一个原函数，则有牛顿-莱布尼兹公式

?af(x)dx?F(b)?F(a)。

?1x?0f(x)???0x?0在??1,2?不连续、不存在原函数，但在??1,2?上可积；函数函数

2x?g(x)???1?1?2xsinx?cosxx?0x?0b在??1,2?不连续，但在??1,2?上可积、存在原函数

?x2G(x)??2?1?xsinxx?0x?0。

x?Qx?Q?1D(x)???0此外函数

处处不连续、不存在原函数，在任意区间(长度大于0)上不可积。

求原函数并验证牛顿-莱布尼兹公式的Mathematica程序

f[x_]:=Sin[x];

Integrate[f(x),x]（求不定积分） F[x_]:=%（定义原函数）

d=NIntegrate[f(x),{x,a,b}]（求定积分） df=F[b]-F[a] （计算原函数的增量） r=d-df

三、实验准备

认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。

四、实验思路提示

3.1定积分的定义

先对一个函数，例如sinx在区间[0,1]，在程序中改变m（例如m?10、100、10000）并适

当扩展有效数字（例如k?10、20、50），运行程序计算定积分的近似值，分析误差。再考虑其它函数。最后对几个公式比较。

3.2牛顿-莱布尼兹公式

先对一个函数，例如sinx在区间[0,1], 运行程序计算。再考虑其它函数，例如指数函数、分段连续函数、D(x)。分析可积条件及牛顿-莱布尼兹公式成立的条件。