八年级几何证明题(2)

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?∠ABH?∠NBH 又BH⊥AH ?∠AHB?∠NHB?90? BH＝BH

??ABH??NBH(ASA)?BA?BN，AH?HN

同理，CA＝CM，AK＝KM ?KH是?AMN的中位线 ?KH//MN 即KH//BC 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。 4、 证明一：连结AD

?AB?AC，BD?DC?∠1?∠2?90?，∠DAE?∠DAB?∠BAC?90?，BD?DC?BD?AD?∠B?∠DAB?∠DAE?AE?BF，∠B?∠DAE，AD?BD??ADE??BDF在?ADE和?BDF中， ??3??1??3??2?90??FD?ED 说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。 证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM

AFE?BD?DCBM图5DC?BDM??CDE，DM?DE??BDM??CDE?CE?BM，?C??CBM ?BM//AC ??A?90???ABM?90???A?AB?AC，BF?AE?AF?CE?BM??AEF??BFM

?FE?FM?DM?DE?FD?ED

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说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。（3）证明二直线的夹角等于90°。

5、 分析：在AC上截取AF＝AE。易知?AEO??AFO，??1??2。由?B?60?，知

?5??6?60?，?1?60?，?2??3?120?。??1??2??3??4?60?，得：?FOC??DOC，?FC?DC

证明：在AC上截取AF＝AE

??5??6?60???1?60???BAD??CAD，AO?AO??2??3?120? 又?B?60? ??AEO??AFO?SAS???1??2??3??4?60???4??2??FOC??DOC(AAS)?FC?DC 即AC?AE?CD

6、分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。

证明：延长CB至G，使BG＝DF 正方形ABCD中，?ABG??D?90?，AB?AD

??ABG??ADF(SAS)?AG?AF，?1??3

又?EAF?45?

??2??3?45???2??1?45? 即∠GAE＝∠FAE

?GE?EF?EF?BE?DF

7、证明：作DF//AC交BE于F ??ABC是正三角形 ??BFD是正三角形 又AE＝BD

?AC//FD

?AE?FD?BF?BA?AF?EF 即EF＝AC

??EAC??EFD??EAC??DFE(SAS)?EC?ED

8、证明一：延长AC到E，使AE＝AB，连结DE 在?ADE和?ADB中，

?AE?AB，?2??1，AD?AD??ADE??ADB

?BD?DE，?E??B??DCE??B??DCE??E?DE?DC，?BD?DC

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. 证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF A12FB34??3??4，DF?DCCD图10?BFD??3，?4??B 则易证?ADF??ADC ??BFD??B ?BD?DF?BD?DC 说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。 作业 1. 证明：取CD的中点F，连结AF C41F3EBAD?AC?AD ?AF?CD ??AFC??CDE?90???4??3?AC?CE 又?1??4?90?，?1??3?90? ??ACF??CED(ASA) ?CF?ED1?DE?CD2 2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。 EADB 在?CBD和?CED中， C 证明：延长CA至E，使CE＝CB，连结ED

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?CB?CE????BCD??ECD?CD?CD???CBD??CED??B??E??BAC?2?B??BAC?2?E又?BAC??ADE??E 3. 证明：延长PM交CQ于R

??ADE??E，?AD?AE

?BC?CE?AC?AE?AC?ADAQBPMRC?CQ?AP，BP?AP ?BP//CQ ??PBM??RCM 又BM?CM，?BMP??CMR ??BPM??CRM ?PM?RM ?QM是Rt?QPR斜边上的中线 ?MP?MQ 4. 取BC中点E，连结AE ABDEC ??BAC?90??2AE?BC ?AB?AC?BC?2BC?AB?AC?BC?AD?BC，?AD?AE ?4AD?AB?AC?BC ?BC?2AE?2AD1?AD??AB?AC?BC?4

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