应用数值分析研究生课程课后习题答案05章

应用数值分析【研究生课程】课后习题答案05章

第五章习题解答

?xi?01341、给出数据点:?

y?19156?i(1)用x0,x1,x2构造二次Lagrange插值多项式L2(x),并计算x?1.5的近似值L2(1.5)。 (2)用x1,x2,x3构造二次Newton插值多项式N2(x),并计算x?1.5的近似值N2(1.5)。 (3)用事后误差估计方法估计L2(1.5)、N2(1.5)的误差。

解:(1)利用x0?0,x1?1,x2?3,y0?1,y1?9,y2?15作Lagrange插值函数

L2(x)??li(x)yi?i?022(x?1)(x?3)(x?0)(x?3)(x?0)(x?1)?1??9??15(0?1)(0?3)(1?0)(1?3)(3?0)(3?1)??5x?29x?33

代入可得L2(1.5)?11.75。

(2)利用x1?1,x2?3,x3?4,y1?9,y2?15,y3?6构造如下差商表：

xi １ ３ ４ 于是可得Newton插值多项式：

yi ９ １５ ６ 一阶差商 ３ －９ 二阶差商 －４ N2(x)?9?3(x?1)?(?4)(x?1)(x?3)??4x2?19x?6

代入可得N2(1.5)?13.5。

(3)用事后误差估计的方法可得误差为

R(1.5)?1.5?0(11.75?13.5)?0.6563◆ 0?42、设Lagrange插值基函数是

li(x)??j?0j?inx?xjxi?xj(i?0,1,2,,n)

1

试证明:①对?x,有

?l(x)?1

ii?0n?1(k?0)?k(k?1,2,,n) ②?li(0)xi??0

i?0?(?1)nxxx(k?n?1)01n?n其中x0,x1,,xn为互异的插值节点。

f(n?1)(?)n证明：①由Lagrange插值多项式的误差表达式R(x)?(x?xi)知，对于函?(n?1)!i?0数f(x)?1进行插值，其误差为0，亦即f(x)??l(x)fii?0ni精确成立，亦即

?l(x)?1。

ii?0n ②分别取被插值函数f(x)?xk，当k?n时Lagrange插值多项式的误差表达式

nnf(n?1)(?)nR(x)?(x?xi)?0，即f(x)??li(x)fi，亦即?li(x)xik?xk，对于?(n?1)!i?0i?0i?0nk?0，由①可知结论成立；对于k?1,2,,n时，特别地取x?0，则有?li(0)xik?0；

i?0nf(n?1)(?)n而当k?n?1时知其Lagrange插值误差为R(x)?(x?xi)??(x?xi)，?(n?1)!i?0i?0nnn于是有f(x)?n?l(x)fii?0i?R(x)，即xk?1??li(x)xi?0k?1i??(x?xi)，特别取x?0可

i?0得

?l(0)xii?0k?1i?(?1)n?2x0x1xn?(?1)nx0x1xn，证毕。◆

3、试验证Newton插值多项式满足Nn(x2)?f(x2)。

解：由Newton插值多项式Nn(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2]

(x?x0)(x?x1)?可知

?f[x0,x1,,xn]?(x?xi)

i?0n?1 2

Nn(x2)?f(x0)?f[x0,x1](x2?x0)?f[x0,x1,x2](x2?x0)(x2?x1)f(x2)?f(x1)f(x1)?f(x0)?f(x1)?f(x0)x2?x1x1?x0?f(x0)?(x2?x0)?(x2?x0)(x2?x1)x1?x0(x2?x0)?f(x2)◆

4、已知f(x)?(x?x0)(x?x1)阶差商f[x0,x1,(x?xn)求函数f(x)的p(xi互异,i?0,1,,n)，

,xp],p?n。

,xp]??j?0p解：由差商和函数值的关系式f[x0,x1,f(xj)i?0,i?j?

p可知，当p?n时总有

(xj?xi)

◆

f[x0,x1,,xp]?0

5、若f(x)?u(x)v(x)，试证明：

f[x0,x1]?u(x0)v[x0,x1]?u[x0,x1]v(x1)

证明：由差商定义

f[x0,x1]??f(x1)?f(x0)u(x)1v(x)1?u(x)v0(x)?x1?x0x1?x00

u(x1)v(x1)?u(x0)v(x1)?u(x0)v(x1)?u(x0)v(x0)x1?x0

u(x1)?u(x0)v(x1)?v(x0)?v(x1)?u(x0)x1?x0x1?x0?u(x0)v[x0,x1]?u[x0,x1]v(x1) ◆

6、若已知yn?2n，求?4yn和?4yn。 解：由向前差分、中心差分和函数值的关系可得

k?yn??(?1)kC4yn?4?k4k?04?yn?4?4yn?3?6yn?2?4yn?1?yn?2n?4?4*2n?3?6*2n?2?4*2n?1?2n?2n

3

k?yn??(?1)kC4yn?2?k4k?04?yn?2?4yn?1?6yn?4yn?1?yn?2?2n?2?4*2n?1?6*2n?4*2n?1?2n?2?2n?2

7、考虑构造一个函数f(x)?ex(x?[0,1])的等距节点函数表，要使分段线性插值的误差不大于

1?10?4，最大步长h应取多大？ 2解：由等距分段线性插值的误差表达式

h2h21(2)R(x)?maxf(x)?e??10?4

80?x?182从而可得

h?2?10?2e?0.0121

8、考虑构造一个函数f(x)?ex(x?[0,1])的等距节点函数表，要使分段Hermite插值的

1?10?4，最大步长h应取多大？ 2解：由等距分段Hermite插值的误差表达式

误差不大于

h4h41(4)?4R(x)?maxf(x)?e??10

4!240?x?13842从而可得

h?2?412?10?1?0.2899 e'9、对函数f(x)，取节点x0,x1,x2，且已知f(x0)?y0,f'(x1)?y1,f(x2)?y2；

①试对f(x)构造二次插值多项式

'P2(x)?h0(x)y0?h1(x)y1?h2(x)y2

确定上式中基函数h0(x),h1(x),h2(x)。

②若要使P2(x)存在且唯一，插值节点x0,x1,x2应满足什么条件？ 解：①依题意，二次多项式基函数h0(x),h1(x),h2(x)应分别满足：

'h0(x0)?y0,h0(x1)?0,h0(x2)?0

（1）

4

'h1(x0)?0,h1'(x1)?y1,h1(x2)?0 'h2(x0)?0,h2(x1)?0,h2(x2)?y2

（2） （3）

由（1）（2）（3）可得

h0(x)?(x?x2?2x1)(x?x2)y0，

(x0?x2?2x1)(x0?x2)'(x?x0)(x?x2)y1， h1(x)?(2x1?x0?x2)h2(x)?(x?x0?2x1)(x?x0)y0

(x2?x0?2x1)(x2?x0)②由（1）（2）（3）可知欲使P2(x)存在且唯一，只需且必须插值节点x0,x2互异且

x1?x0?x2。 210、设f(x)?C3[a,b],x0,x1?[a,b]，证明：

f(x)??(x?x1)(x?2x0?x1)(x?x0)(x?x1)'f(x)?f(x0)0(x1?x0)2(x0?x1)?(x?x0)f(x1)?R(x)2(x1?x0)1(x?x0)2(x?x1)f'''(?)6(x0???x1)。

2

其中R(x)?证明：令二次多项式

P2(x)??(x?x1)(x?2x0?x1)(x?x0)(x?x1)'f(x)?f(x0)0(x1?x0)2(x0?x1)?(x?x0)f(x1)(x1?x0)22

则易见P2(x)满足：P2(x0)?f(x0),P2'(x0)?f'(x0),P2(x1)?f(x1) 于是R(x)?f(x)?P2(x)满足：R(x0)?R(x0)?R(x1)?0

因而R(x)?K(x)(x?x0)(x?x1)，引入辅助函数g(t)?R(t)?K(x)(t?x0)(t?x1)，则g(t)共有x0(二重),x1,x四个零点，依广义Rolle定理，存在??[x0,x1]满足：

22'g'''(?)?R'''(?)?6K(x)?f'''(?)?P2'''(?)?6K(x)?f'''(?)?6K(x)?0

5