《幂函数》 教案

幂函数

一．教学目标： 1．知识技能

（1）理解幂函数的概念；

（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法

类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.

3．情感、态度、价值观

（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点

重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具

（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体 三．教学过程： 引入新知

阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？

（2）以上问题中的函数有什么共同特征？

让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论 答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方

（4）求算术平方根 （5）求－1次方

2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y?x，其中x是自变量，?是常数.

探究新知

1．幂函数的定义

一般地，形如y?x（x?R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，?是常数. 如y?x,y?x,y?x本初等函数.

2．研究函数的图像

2（1）y?x （2）y?x （3）y?x

12213?14??等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基

（4）y?x （5）y?x

一．提问：如何画出以上五个函数图像

引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.

?13y?x2

y?x 4y?x 212y=x3 y=x-1 0 51015-5-2-4-6 让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图像，填P91探究中的表格 -8-10 定义域 奇偶性 y?x R 奇 y?x R 奇 2y?x R 奇 3y?x 12y?x?1 ?x|x?0? ?x|x?0? 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单在第Ⅰ象限单调增减性 调递增 调递增 调递增 调递增 调递减 定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）

3．幂函数性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1?1）； （2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.

2 特别地，当x＞1，x＞1时，x∈（0，1），y?x的图象都在y?x图象的下方，形

x状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）

2 当∠α＜1时，x∈（0，1），y?x的图象都在y?x的图象上方，形状向上凸，α

越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）

（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴. 例题：

1．证明幂函数f(x)?x在[0,??]上是增函数

证：任取x1,x2?[0,??),且x1＜x2则 f(x1)?f(x2)? =x1?x2

(x1?x2)(x1?x2)x1?x2 =x1?x2

x1?x2x2＞0

因x1?x2＜0，x1? 所以f(x1)?f(x2)，即f(x)?思考：

我们知道，若y?f(x)?0,若x在[0,??]上是增函数.

f(x1)?1得f(x1)?f(x2)，你能否用这种作比的方法f(x2)来证明f(x)?x在[0,??]上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？

1632322424 2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）2,163 （2）(x?1),x(x?0) （3）(a?4),4

2??分析：利用幂函数的单调性来比较大小.

5．课堂练习

画出y?x的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式

（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？ 作业：P92 习题 2.3 第2、3 题

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