2017-2018学年北师大版必修五 基本不等式 教案

3.4 基本不等式（第1课时）

一、教学目标：

1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；

2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑

推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。

二、教学重点：对基本不等式的理解和运用

教学难点：理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点

三、学情及导入分析：

对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等四、教学过程：

教学环节 复习旧知识，引入新知 的本质和成立条件。 2．鼓励学生独立思考，充分发挥学生的创新和想象能力，进而发现并理解基本不等式的实 质。 通过情境引发联想，学生深切感受 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。 教学内容 1.创设情境，提出问题 师生活动 1．培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐步发现基本不等式由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。 设计意图

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归纳抽象形成概念 比较分析，深化认识 量关系呢？ 生：正方形和三角形的面积、周长，根据给的边可以求。 师：那么面积之间又有怎样的关系呢？ 最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。将代数与几何紧密的结合在了一起。 师：从图形上你能观察到了什么？ 生：边、角、三角形、正方形 师：我们根据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以研究哪些数 合作探究 探究一：观察上面的会标。会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、 用代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。 培养学生分析，抽象能力、感受数学概念形成过程及建 数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。 到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界 第 2 页 共 8 页

生：还会相等。 a?b时会相等。（教师投影展示取等号的条件，证明学生的想法是正确的。） 结论：a2?b2?2ab（当且仅当a?b时取等号） 师：你能给出证明吗？（此问题学生口述即可） 生：由a2?b2?2ab， 则a?b?2ab?0?(a?b)?0恒成立。则a?b时取等号。 师：一般的我们都用a，b表示，那么若将上式中的a，b换成a，b，你又会得出什么结论？如何证明？ 22生：大正方形面积a2?b2，四个直角三角形面积2ab，并且a2?b2>2ab。 师：仅此而已吗？你还能发现怎样的关系？ 模思想。 对图形进一步分析，引导 培养学生善于联想，体会知2学生发现几何平均数和算术平均数，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察识间的内在联系，从而加深对数学概念的理解。 分析以形识数，进而完善前面 生： a?b?2ab(a?0,b?0) 当且仅当a?b时取等号。 师：很好，还可以写成 的代数结论。 ab?a?b(a?0,b?0)，如何证明 2 这个结论成立呢？ a?b 生投影展示：要证?ab，只 2要证a?b?2ab，只要证只要证 a?b?2ab?0， 第 3 页 共 8 页

(a?b)2?0，显然式子成立，当且 仅当a?b取等号。 师：这样我们又一次得到了基本不等式。根据以上证明学生已经基本了解了基本不等式的形式 和推导方法，同学们是否真正理解了基本不等式的含义。 教师引导学生回答，作出评价 探究二： 如右图，AB是圆的直径，点 C是AB上的一点，AC?a，BC?b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD。你能利用这个图形，得出 ab?a?b(a?0,b?0)的几何解释 2吗？ （学生口述证明过程，教师给以引导） 证明：因为?ACD?BCD，所以 CD?ab。 由于CD小于或等于圆的半径， 用不等式表示为 结论:（教师投影展示学生口述a?b结果） (a?0,b?0) 2显然不等式当且仅当点C与圆心结合， ab是a、b的几何平均数，即当a?b时，等号成立 a?b是a、b的算术平均数。 师：以上利用代数法和几何法推导基本2ab?不等式，过程详细，内容明确，学生们对基本不等式理解了吗？我们来看看以下几个问题是否正确？ 代数解释是几何平均数不大于算术平均数。 几何解释为半弦不大于半径。 例题解析 学生分组讨论自主探究，教师引导学生通过第 4 页 共 8 页

例：判断对错 1）由a,b?R,则a?b?2ab （） 巡视指导。 2）．若x?0,则x?1?2 （ ） x 3）当a?0,b?0时，a?b?ab。 （ ） 2 4）函数y?x?1的最小值为2. x （ ） （学生先独立思考，组内再探讨，最后 小组派代表解答。） 师：基本不等式在解决实际问题中有广 泛的应用，是解决最值问题的有力工 具，看下面的例题。 例：（１）用篱笆围一个面积为１００合作探究：下面两道例题都由自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。 平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、学生先独立完成，然后组内探宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？ 讨，最后组内出代表完成。 解：设矩形菜园的长为xｍ，宽为yｍ， 则xy?100，篱笆的长为2?x?y?ｍ． x?y 由，可得?xy2 x?y?2100，2?x?y??40。等号 当且仅当x?y时成立，此时 x?y?10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m． 师：完成此例题你有什么发现？ 生：乘积是定值的时候，和取最值，并且为最小值。 师：很好，那总结个规律该怎么说呢？第 5 页 共 8 页

考查学生对所学知识点掌握的情况，是否真正理解了基本不等式并能注意运用公式时需要注意的条件，从而真正意义上理解不等式的含义。