常见的圆锥曲线离心率的求法

常见的圆锥曲线离心率的求法

主讲人：高尤琼

【考纲展示】

1. 掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；

2. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、

渐进线。

3. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率

【三维目标】

1.知识与技能：掌握椭圆与双曲线的离心率的解法；

2.过程与方法：通过讨论展示，合作探究体验解题过程，提高学生的逻辑分析能力。 3. ●情感态度价值观：通过数形结合、转化与化归的思想过程培养学生思维的严密性。 ●教学重点：含有参数的圆锥曲线离心率的解法。 ●教学难点：找出各种基本量a、b、c之间的关系

【复习引入】

1. 椭圆、双曲线离心率计算公式用a、c怎么表示？用a、b怎么表示？抛物线离心率呢？

2. 离心率的变化带来椭圆、双曲线形状怎么变化？

【讨论展示】

一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e?c来解决。 a

二、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

x2y2例2：已知F1、F2是双曲线2?2?1（a?0,b?0）的两焦点，以线段F1F2为

ab边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 4?23 B. 3?1 C.

3?1 D. 3?1 2三、采用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若?F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

四、建立等量关系求解离心率e：

五、运用函数思想求解离心率e的范围：

六、构建关于e的不等式，求解离心率e的范围：

【小试身手】

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1?1,0?、F2?3,0?，则其离心率为（A. 34 B. 23 C. 12

）

D. 14 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A.

363 B. C. D 2 222x2y2变式练习3：设双曲线2?2?1（0?a?b）的半焦距为c，直线L过?a,0?，?0,b?两点.已知原点到

ab直线的距离为

3c，则双曲线的离心率为( ) 43 C.

A. 2 B. 变式练习4：

变式练习5：

2 D.

23 3

【归纳小结】

【跟踪练习】

x2y221. 设双曲线2?2?1（a?0,b?0）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y?4x的准线重合，则此双曲

ab线的方程为（ ）A.

x22y2x2y2x2y2x2y2??1 B. ??1 C. ??1 D. ??1

3312244896362．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A．

1 3 B．

3 3C．

31 D．

22

x2y243．已知双曲线2?2?1的一条渐近线方程为y?x，则双曲线的离心率为（ ）

3abA

5435 B C D 33242，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

21 D

42

4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为

A

2 B

22 C

5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为

2，焦点到相应准线的距离为

1，则该双曲线的离心率为（ ） 2A

22 B

2 C 2 D 22

x2y26．如图，F1和F2分别是双曲线2?2?1（a?0,b?0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1ab径的圆与该双曲线左支的两个交点，且?F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

为半

A

3

B

5

C

5 2 D

3?1

x2y27. 设F1、F2分别是椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（c为半焦距）

ab的点，且

F1F2?F2P，则椭圆的离心率是（ ）A

3?11 B C 225?1 2 D

22

x2y208．设F1、F2分别是双曲线2?2?1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使?F1AF2?90，且AF1?3AF2ab则双曲线离心率为（ ） A

，

105 B

22 C

152 D

5

x2y209．已知双曲线2?2?1（a?0,b?0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只

ab有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A

?1,2? B ?1,2? C ?2,??? D ?2,???

，

x2y210．椭圆2?2?1（a?b?0）的焦点为F1、F2，两条准线与x轴的交点分别为M、N，若MN?2F1F2ab则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A．?0,??1? ?2? B．??2? C．?1? D．?2? ,1?,1????0,2???2?2????

ca2答案：1.由?3,?1可得a?3,b?6,c?3.故选D

ca2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ a?2b，椭圆的离心率e?c3?，选D。 a2b4c32?425?,故选A 3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得?,可得e??a3a33x2y22b2a22?2且?c?1，据此求出e＝4.不妨设椭圆方程为2?2?1（a?b?0），则有

2abacx2y22b2a21?2且c??，据此解得e＝2，选C 5.不妨设双曲线方程为2?2?1（a?0，b?0），则有

abac2x2r26.解析：如图，F1和F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以

ab且△F2AB是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，

|AF2|=3c，∴ 2a?(3?1)c，双曲线的离心率为1?3，选D。

a2c2a2,3c）7.由已知P（，所以2c?( ?c)2?(3c)2化简得a2?2c2?0?e??a2．ccx2y28.设F1，F2分别是双曲线2?2?1的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，

ab设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a?|AF1|?|AF2|?2，2c?|AF1|?|AF2|?10，∴ 离心率

22e?10，选B。 2x2y29.双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只

ab有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

bb，∴ ≥3，离心率aac2a2?b2≥4，∴ e≥2，选C e=2?aa22

x2y2a2210.椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若|MN|?，

abca22|F1F2|?2c，MN≤?F1F2，则?2c，该椭圆离心率e≥，选D

2c