高考数学 数列的综合应用知识梳理复习教案(2)

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小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。

题型3 数列与函数、不等式等问题的综合应用

例3 (文)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)． 11

(1)试判断数列{}是否为等差数列；(2)设{bn}满足bn＝，求数列anan{bn}的前n项为Sn；

1

(3)若λan＋≥λ，对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值

an＋1范围．

11

解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得－＝3(n≥2)，故数列

anan－11

{}是等差数列． an

(2)由(1)的结论可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2， n(1＋3n－2)n(3n－1)∴Sn＝＝.

22

1111

(3)将an＝＝代入λan＋≥λ并整理得λ(1－)≤3nbn3n－2an＋13n－2＋1，

(3n＋1)(3n－2)∴λ≤，原命题等价于该式对任意n≥2的

3n－3

整数恒成立．

(3n＋1)(3n－2)(3n＋1)(3n－4)

设Cn＝，则Cn＋1－Cn＝>0，

3n－33n(n－1)

故Cn＋1>Cn，

28

∴Cn的最小值为C2＝， ∴λ的取值范围是(－∞，

3

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28]． 3

2

变式训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N都有Sn＝

3

*

1

an－，若1

3

2121

解：∵Sn＝an－，∴S1＝a1－＝a1，a1＝－1.an＝Sn－Sn－1(n>1)，即

3333212122an

an＝(an－)－(an－1－)＝an－an－1，整理得：＝－2，∴{an}

333333an－1a1(1－qk)(－2)k－1是首项为－1，公比为－2的等比数列，Sk＝＝，

1－q3(－2)k－1

∵1

3立．

小结与拓展：数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题. 解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养转化意识. 2.将实际问题转化为数列问题时应注意：

（1）分清是等差数列还是等比数列；

（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n. 3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.

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4.强化转化思想、方程思想的应用.