高考数学 数列的综合应用知识梳理复习教案

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数列的综合应用

一、课前检测

1．猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n个式子

为 。 答案：1?4?9?16?

2．用数学归纳法证明1?a?a?......?a2n?1?(?1)n?1n2?(?1)n?1(1?2?3?4??n)

1-an?2?(n?N?,a?1),在验证1-an?1成立时,左边所得的项为( C )

A.1 B.1+a C.1?a?a2 D.1?a?a2?a3

二、知识梳理

1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。 ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r.其中第n年产量为

a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：

2n?1a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)a[a?(1?r)n]?. 1?(1?r)⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1?r)n元. 因此，第二年年初可存款：

a(1?r)12?a(1?r)?a(1?r)1110a(1?r)[1?(1?r)12]?...?a(1?r)=

1?(1?r).

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注意：“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元,每期利率为r,则n期后本利和为：

Sn?p(1?r)?p(1?2r)?p(1?nr)?p(n?n(n?1)2；②复利问r)(等差数列问题）

题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元,

采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：

p(1?r)n?x(1?r)n?1?x(1?r)n?2??x(1?r)?x(等比数列问题).

⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.

a?1?r??x?1?r?mm?1?x?1?r?m?2?......x?1?r??x?a?1?r?mx?1?r?m?1ar?1?r?m??x? mr?1?r??12.将实际问题转化为数列问题时应注意：

（1）分清是等差数列还是等比数列；

（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.

3.数列与其他知识的综合也是常考的题型，如：数列与函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透，都是常见的题型。

4.强化转化思想、方程思想的应用.

三、典型例题分析

题型1 以等差数列为模型的问题

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例1 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量. 剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题. 解：设在第n天达到运送食品的最大量.

则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.

an=1000+（n－1）·100=100n+900.

其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列.

依题意，得

1000n+n(n?1)×100+（100n+800）（15－n）+(15?n)(14?n)×（－

22100）=21300（1≤n≤15）.

整理化简得n2－31n+198=0. 解得n=9或22（不合题意，舍去）. 答：在第9天达到运送食品的最大量.

an－1变式训练1 数列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝＋n＋1(n∈N*，

nn≥2)，则这个数列的通项an＝________. 答案：(n＋1)(n＋2)

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an

解：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈N*，n≥2)，则

n＋1an－1ana1－＝1，所以数列{}是以＝3为首项，1为公差的等差数列，nn＋12an

即＝n＋2，则an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1时，此式也成立． n＋1

小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。

题型2 以等比数列为模型的实际问题

例2 （2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.

（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；

（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）

剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题. 解:（1）2005年底的住房面积为

1200（1+5%）－20=1240（万平方米）， 2006年底的住房面积为

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1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米）， ∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米.

（2）2024年底的住房面积为

1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20

=1200（1+5%）

20

1.0520?1－20×

0.05≈2522.64（万平方米），

∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.

评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.

变式训练2 从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___ _万元. 答案：1［（1+p）7－（1+p）］

p解：存款从后向前考虑

（1+p）+（1+p）2+…+（1+p）5

(1?p)[(1?p)6?1]1==

pp［（1+p）7－（1+p）］.

注：2008年不再存款.