2010年天津市大学数学竞赛试题

2010年天津市大学数学竞赛试题

（理工类）

一、填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在横线上面。） 1. 设xn?1?12?13???11?2???nsinxx?,则limxn? n??2. 已知f?x?的一个原函数

??，则??xf??x?=

23.

?dxxlnx2=

e4. 设a,b为非零向量，且满足?a?3b???7a?5b?,?a?4b???7a?2b?,则a与b的夹角

为 。

5. 根据美国1996年发布的《美国能源报告》原油消耗量C1?t?的

亿桶/年）：

C1?t?=-0.00137t2+0.0781t?6.90,-15?t?15, 式中的原点取为2000年1月。如果实测模型为：

C2?t???0.0137t2?0.0721t?6.87,?15?t?15,

则自1995年至2015年共节省原油

二、选择题（本题15分，每小题3分。每个小的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） ?⒈设函数f?x????1?cosxx,x?0xg?x?,x?0 其中g?x?是有界函数，则f?x?在x=0点处（ ）。

(A)极限不存在； (B)极限存在，但不连续； (C)连续但不可导；

(D)可导。

2?32.设曲线的极坐标方程为r?1?cos?,则在其上对应于??程为（ ）。

(A)x?1?0; (B)y?1?0; (C)x?y?0; (D)x?y?0。 3.设函数f(x)连续，则 (A)x?3点处的切线的直角坐标方

ddx2?x0tfx?tdt=（ ）。

33?22?x20f?u?du?xfx; (B)xf?0?;

32?? (C)xf?x?; (D)x?x20f?u?du。

4.设

axdx?bdy?x2?y?2为一函数的全微分，则下面正确的答案为（ ）。

(A)a??1,b?1; (B)a?1,b??1; (C)a??2,b??1; (D)a??2,b?1。

222??xyz????x,y,z??2?2?1,z?0?,并取上侧为正，则不等于零的曲面积分

123???5.设曲面?为：（ ）。

(A)??xdydz;?2

(B)??xdydz;

? (C)??zdxdz; (D)??ydxdy。

??三、计算

1??3n?n2lim??n?n??e?n??2????(本题7分) 1?n?。?6四、设f?x??arctan1?x1?x,求f?5?(本题6分) ?0?。五、对k的不同取值，分别讨论方程 x3?3kx2?1?0在区间?0,???内根的个数。(本题7分) 六、设

??a,b均为常数且a??2,a?0,问为a,b何值时，有

?1?2x2?bx?a??1??dx??x?2x?a????01ln1?xdx。(本题7分)

2?七、设a1??12,an?1?an?12,n?1,2,3,?,证明：liman存在并求其值。(本题8分)

n??n八、设f?x?是区间?a,a?2?上的函数，且f?x??1,ff??x??2,x??a,a?2?。 (本题7分)

?x??1,证明：

九、设z?z?x,y?是由z?e?xy所确定的二元函数，求：

z?z?x22,?z?x?y2。(本题6分)

十、求?ydx?xdyx?y22L,其中曲线L是

?x?1?29?y?1位于上半平面，从点??2,0?到?4,0?的

2部分。(本题7分)

十一、计算I????xyzdxdy?xydydz,其中?22为曲面z?x2?y2与z?1所围成的封

闭曲面的外侧。(本题7分)

十二、在曲面z?4?x2?y2上求一点P，使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面?x?1??y2?1所围空间区域的体积最小。(本题8分)

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