霍尔位置传感器法杨氏模量的测定(2)

设其曲率半径为R(x)，所对应的张角为d?，再取中性面上部距为y厚为dy的一层面为研究对象，那么，梁弯曲后其长变为(R(x)?y)?d?，所以，变化量为：

(R(x)?y)?d??dx

又 d??dx； R(x)所以 (R(x)?y)?d??dx?(R(x)?y)ydx?dx??dx； R(x)R(x)所以应变为： ???y； R(x)根据虎克定律有：

dFy??Y； dSR(x)又 dS?b?dy；

所以 dF(x)??Y?b?ydy； R(x)- 5 - 5

对中性面的转矩为： d?(x)?dF?y?a2a?2Y?b2y?dy； R(x)积分得： ?(x)??Y?b2Y?b?a3； （1） y?dy?R(x)12?R(x)y??(x)322对梁上各点，有：

1?R(x)?1?y?(x)?；

因梁的弯曲微小： y?(x)?0；

所以有： R(x)?1； （2） ??y(x)Mg对x处的力矩平衡， 2Mgd(?x)； （3） 所以有： ?(x)?22梁平衡时，梁在x处的转矩应与梁右端支撑力根据（1）、（2）、（3）式可以得到：

y??(x)?6Mgd(?x)； 3Y?b?a2据所讨论问题的性质有边界条件； y(0)?0；y?(0)?0； 解上面的微分方程得到：

y(x)?将x?3Mgd213(x?x); 33Y?b?a2d代入上式，得右端点的y值： 2Mg?d3y?； 34Y?b?a又 y??Z；

d3?Mg所以，杨氏模量为： Y?

4a3?b??Z上面式子的推导过程中用到微积分及微分方程的部分知识，作者之所以将这段推导写进去，是希望学生和教师在实验之前对物理概念有一个明晰的认识。

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