高中数学竞赛（00-06年）试题分类汇总 - 综合题选讲(2)

因为S是正整数，可得n(3n－1)能被4整除．又n为正整数，所以n＝3或4或7或8． 当n＝3时，题目中已给出；

当n＝4时，好数P可以是41 312 432； 当n＝7时，好数P可以是71 316 435 724 625； 当n＝8时，好数P可以是8 131 573 468 524 726． 13．

（06全国）将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和. 记S?1?i?j?5? xixj. 问：

（1） 当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最大值；

（2） 进一步地，对任意1?i,j?5有xi?xj?2，当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到

最小值. 说明理由.

【解】 （1） 首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若

x1?x2?x3?x4?x5?2006, 且使 S?(1?i,j?5)???（5分） (*)

1?i?j?5?xixj取到最大值，则必有xi?xj?1,

??x1?1，事实上，假设（*）不成立，不妨假设x1?x2?2。则令x1??x2?1,xi??xi(i?3,4,5) x2??x2??x1?x2，x1??x2??x1x2?x1?x2?1?x1x2。将S改写成 有x1S?同

时

有

1?i?j?5?

xixj?x1x2??x1?x2??x3?x4?x5??x3x4?x3x5?x4x5

?x2??(x1??x2?)?x3?x4?x5??x3x4?x3x5?x4x5。于是有S??x1?x2??x1x2?0。这与S在x1,x2,x3,x4,x5时取到最大值矛盾。所以必有xi?xj?1, S??S?x1 (1?i,j?5). 因此当x1?402,x2?x3?x4?x5?401取到最大值。 ?????（10分）（2）当x1?x2?x3?x4?x5?2006且xi?xj?2时，只有

（I） （II）

402， 402， 402， 400， 400； 402， 402， 401， 401， 400；

（III） 402， 401， 401， 401， 401；

三种情形满足要求。????????（15分）

而后面两种情形是在第一组情形下作xi??xi?1，x?j?xj?1调整下得到的。根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式S?1?i?j?5?xixj

变大。 所以在

x1?x2?x3?402,x4?x5?400情形取到最小值。 ????????（20分）

16、（06全国）设 f(x)?x2?a. 记f1(x)?f(x)，fn(x)?f(fn?1(x))，n?2,3,?，

1??M?a?R对所有正整数 n， fn(0)?2. 证明：M???2, ?.

4????1【证明】（１）如果a??2，则f(0)?|a|?2，a?M。 ?????????（5分）

11nn?12，由题意 f(0)?a，f(0)?(f(0))?a,n?2,3,?. 则 411n① 当 0?a?时，f(0)?（?n?1）.

4211 事实上，当n?1时，f(0)?a?, 设n?k?1时成立（k?2为某整数），则对n?k，

2（２）如果?2?a??1?11fk(0)?fk?1(0)?a?????.

?2?422n② 当 ?2?a?0时，f(0)?a（?n?1）.

21事实上，当n?1时，f(0)?a, 设n?k?1时成立（k?2为某整数），则对n?k，有

?|a|?a?fk(0)??fk?1(0)??a?a2?a.注意到 当?2?a?0时,总有a2??2a，即

2?1?推出 ??2,??M。????（15分） a2?a??a?|a|. 从而有fk(0)?|a|.由归纳法，

4??（3）当a?11n时，记an?f(0)，则对于任意n?1，an?a?且 442an?1?fn?1(0)?f(fn(0))?f(an)?an?a。

对于任意n?1，an?1?an?an?an?a?(an?)?a? 所

以

，

1221an?1?a?an?1?a1?n(a?)42111?a?, 则an?1?an?a?。 4442?a。当时，n?1a?41an?1?n(a?)?a?2?a?a?2，即fn?1(0)?2。因此a?M。综合（１）（２）（３），

4我们有M???2, ?。?????（20分）

4??1??w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m