2019年高考数学（理）终极押题卷（新课标卷）（解析版）(3)

（2）方法一：在线段AD上取点N，使AN?2ND，则MN∥PA，又由（1）得PA?平面ABCD，∴MN?平面ABCD，又∵AC?平面ABCD，∴MN?AC，作NO?AC于O，又∵MNNO?N，MN?平面MNO，

NO?平面MNO，∴AC?平面MNO，又∵MO?平面MNO，∴AC?MO，又∵AC?NO，∴?MON是二

面角M?AC?D的一个平面角，设PMPD?x，则MN??1?x?AP?2?2x，ON?22AN?22xAD?x，这样，二面角M?AC?D的大小为60?，

即tan?MON?MNON?2?2xx?tan60??3，即PMPD?x?4?23，∴满足要求的点M存在，且

PMPD?4?23．………………………………………………12分 方法二：取BC的中点E，则AE、AD、AP三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE、AD、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

且由（1）知AP??0,0,2?是平面ACD的一个法向量， 设

PMPD?x??0,1?，则MN??1?x?AP?2?2x，AN?xAD?2x， ∴AM??0,2x,2?2x?，AC??2,2,0?，

设AQ??a,b,c?是平面ACM的一个法向量， 则???AQ?AM?2xb??2?2x?c?0?a??b，∴????AQ?AC?2a?2b?0?2x，

?c?2x?2b令b?2x?2，则AQ???2x?2,2x?2,2x?，它背向二面角，

又∵平面ACD的法向量AP??0,0,2?，它指向二面角， 这样，二面角M?AC?D的大小为60?， 即cosAP,AQ?AP?AQ22xAP?AQ?2???2?2x?2??2?2x?2??2x?2?cos60??12，

即x?4?23，

∴满足要求的点M存在，且PMPD?4?23．……………………………………………….12分

20．（本小题满分12分）

已知△ABC的直角顶点A在y轴上，点B?1,0?，D为斜边BC的中点，且AD平行于x轴．

（1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹为曲线?，直线BC与?的另一个交点为E．以CE为直径的圆交y轴于M、N，记此圆的

圆心为P，?MPN??，求?的最大值． 【答案】（1）y2?4x?x?0?；（2）

2π3． 【解析】（1）设点C的坐标为?x,y?，

则BC的中点D的坐标为??x?1?2,y?2??，点A的坐标为???0,y?2??．AB????1,?y?2??，AC????x,y?2??，由AB?AC，得

AB?AC?x?y24?0，即y2?4x，经检验，当点C运动至原点时，A与C重合，不合题意舍去．

∴轨迹?的方程为y2?4x?x?0?．………………………………………………4分

（2）依题意，可知直线CE不与x轴重合，设直线CE的方程为x?my?1， 点C、E的坐标分别为?x1,y1?、?x2,y2?，圆心P的坐标为?x0,y0?．

由??y2?4x，可得?x?my?1y2?4my?4?0，∴y1?y2?4m，y1y2??4．……………………………………………….6分

∴x221?x2?m?y1?y2??2?4m?2，∴xx1?x0?2?2m2?1． ∴圆P的半径r?12CE?12?x11?x2?2??2?4m2?4??2m2?2．………………………………………………8分 过圆心P作PQ?MN于点Q，则?MPQ??2．

在Rt△PQM中，cos?PQx2?02m?112r?r?2m2?2?1?2m2?2，………………………………………………10分 当m2?0，即CE垂直于x轴时，cos?1?π2取得最小值为2，2取得最大值为3，

∴?的最大值为

2π3．………………………………………………12分 21．（本小题满分12分） 已知函数f?x??ex?1?a?x?1??lnx（a?R，e是自然对数的底数）．

（1）设g?x??f??x?（其中f??x?是f?x?的导数），求g?x?的极小值； （2）若对x??1,???，都有f?x??1成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）2?a；（2）???,2?． 【解析】（1）g?x??f??x??ex?1?1x?a?x?0?，g??x??ex?1?1x2． 令??x??g??x??ex?1?1x2?x?0?，∴???x??ex?1?2x3?0， ∴g??x?在?0,???上为增函数，g??1??0．

∵当x??0,1?时，g??x??0；当x??1,???时，g??x??0，

∴g?x?的单调递减区间为?0,1?，单调递增区间为?1,???，∴g?x?极小?g?1??2?a．………………….6分 （2）由（1）知，f??x?在?1,???上单调递增，在?0,1?上单调递减，∴f??x??f??1??2?a． 当a?2时，f??x??0，f?x?在?1,???上单调递增，f?x??f?1??1，满足条件；………………8分 当a?2时，f??1??2?a?0． 又∵f??lna?1??elna?a?1lna?1?1lna?1?0，∴?x0??1,lna?1?，使得f??x0??0， 此时，x??1,x0?，f??x??0；x??x0,lna?1?，f??x??0，………………………………………………10分 ∴f?x?在?1,x0?上单调递减，x??1,x0?，都有f?x??f?1??1，不符合题意．

综上所述，实数a的取值范围为???,2?．……………………………………………….12分

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为??x?tcos?（t为参数，0???π）．以坐标原点为极点，x?y?tsin?轴正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?2?4?4?cos??2?sin?． （1）写出曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的长度为25，求直线l的普通方程．

【答案】（1）?x?2?2??y?1?2?9；（2）y?34x和x?0．

【解析】（1）将??x??cos??y??sin?代入曲线C极坐标方程得：

曲线

C的直角坐标方程为

x2?y2?4?4x?2y，即

?x?2?2??y?1?2?9．………………………………………………5分

（2）将直线l的参数方程代入曲线方程：?tcos??2?2??tsin??1?2?9， 整理得t2??4cos??2sin??t?4?0，

设点A，B对应的参数为t1，t2，解得t1?t2?4cos??2sin?，t1t2??4， 则AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2??4cos??2sin??2?16?25?3cos2??4sin?cos??0，

∵0???π，∴??π2和tan??34，∴直线l的普通方程为y?34x和x?0．…………………………………….10分

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23. 已知函数f?x??x?m?2x?1，m?R． （1）当m?1时，解不等式f?x??2；

（2）若不等式f?x??3?x对任意x??0,1?恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）???x0?x?4?3??；（2）?m0?m?2?．

?1?2?3x,x??2【解析】（1）当m?1时，f?x??x?1?2x?1，∴f?x????x,1?x?1， ?2??3x?2,x?1?

f?x??2即求不同区间对应解集，∴

f?x??2的解集为

??x0?x?4??．……………………………………………….5分

?3?（2）由题意，f?x??3?x对任意的x??0,1?恒成立， 即x?m?3?x?2x?1对任意的x??0,1?恒成立， ?1令g?x??3?x?2x?1???x?2,0?x??2?1， ??4?3x,2?x?1∴函数y?x?m的图象应该恒在g?x?的下方，数形结合可得0?m?2．…………………………………………10分