2016届山东省济宁市高考数学专题复习演练第7讲二次函数与幂函数(2)

1

1－2a，a≤，??2

综上，M(a)＝?1

0， a＞，??20， a≤0，??2

m(a)＝?－a， 0＜a≤1，

??1－2a， a＞1.

考向二 [020] 二次函数的综合应用

2

设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值．都有f(x)＞0，求实

数a的取值范围．

【思路点拨】 法一 分a＞0，a＝0，a＜0三种情况求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min，再令f(x)min＞0求解．

2222

法二 分离参数a得a＞－2＋，然后求g(x)＝－2＋的最大值即可．

xxxx1?1?2

【尝试解答】 法一 当a＞0时，f(x)＝a?x－?＋2－，由f(x)＞0，x∈(1,4)得：

?a?

a1??≤1?a??f＝a－2＋2≥0

??a或?

?1?＝2－1＞0f????a?a?

1

a≤??4或?3

a≥??8

??a≥1

∴???a≥0

1

??4＜a＜1或?1

a＞??2

11＜＜4

1??≥4或?a?＝16a－8＋2≥0.?f

，

11

∴a≥1或＜a＜1或?，即a＞，

22

??f当a＜0时，?

?f?

＝a－2＋2≥0

＝16a－8＋2≥0

，解得a∈?；

当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意． 1

综上可得，实数a的取值范围是a＞.

2

法二 由f(x)＞0，即ax－2x＋2＞0，x∈(1,4)， 22

得a＞－2＋在(1,4)上恒成立．

2

xx22?11?21

令g(x)＝－2＋＝－2?－?＋，

xx?x2?2

1?1?∈?，1?，∴g(x)max＝g(2)＝，

x?4?21

1

所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立，只要a＞即可． 2规律方法2

1.本例中二次项系数不确定，因此使用方法一时需分三种情况讨论. 2.由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题思路：

分离参数；

不分

离参数，二者都将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥fx?a≥fx2

max

，a≤fx?a≤fxmin

.

对点训练 若二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求函数f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 【解】 (1)由f(0)＝1，得c＝1. 因此f(x)＝ax＋bx＋1.

又f(x＋1)－f(x)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.x∈R.

??2a＝2，因此?

?a＋b＝0，?

22

??a＝1，

∴?

?b＝－1.?

所以f(x)＝x－x＋1.

(2)由题意，x－x＋1＞2x＋m在[－1,1]上恒成立． 则m＜x－3x＋1在[－1,1]上恒成立， 令g(x)＝x－3x＋1，x∈[－1,1]， 易知g(x)在x∈[－1,1]上是减函数， ∴g(x)min＝g(1)＝－1，应有m＜－1. 因此实数m的取值范围是(－∞，－1)．

考向三 [021] 幂函数及其性质

2

2

22

2

(1)函数f(x)＝(m－m－1)xm－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，

则实数m的值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5 (2)若a＜0，则下列不等式成立的是( )

?1?a?1?aaaA．2a＞??＞(0.2) B．(0.2)＞??＞2a

?2??2??1?a?1?aaaC.??＞(0.2)＞2a D．2a＞(0.2)＞?? ?2??2?

【思路点拨】 (1)m－m－1＝1→求m的值→验证单调性→对m的值取舍．

2

?1?a?1?aαaa(2)构造函数y＝x→比较??与(0.2)的大小→进而比较2a与??、(0.2)的大小．

?2??2?

【尝试解答】 (1)由题意知m－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，m－2m－3＝－3，f(x)＝x符合题意， 当m＝－1时，m－2m－3＝0，f(x)＝x不合题意． 综上知m＝2.

(2)∵a＜0，∴y＝x在(0，＋∞)上是减函数，

a2

0

2

－3

2

?1?aa∴0.2＞??＞2a，故选B.

?2?

【答案】 (1)A (2)B

规律方法3 1.熟知幂函数的定义和单调性是解答此类问题的关键． 2．幂的大小比较的常用方法

分类 底数相同，指数不同 指数相同，底数不同 底数、指数都不同 考查对象 方法 利用指数函数y＝a的单调性 利用幂函数y＝x的单调性 寻找中间变量0,1或bx1或ax2 αax1与ax2 αxα1与x2 xax1与bx2

思想方法之四 数形结合思想在二次函数中的妙用

二次函数是数形结合的完美载体，利用二次函数图象可以较直观形象地解决以下几方面问题：(1)二次函数的单调区间；(2)二次函数在给定区间上的最值；(3)借助二次函数求参数的范围；(4)与二次函数相关的图象交点个数问题．解决以上问题的关键是准确做出二次函数的图象，结合图象求解．

——— [1个示范例] ——— [1个对点练] ———

2

(2013·辽宁高考)已知函数f(x)＝x－2(a＋2)x＋a，g(x)＝－x＋2(a－

222

2)x－a＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( )

A．16 C．a－2a－16

2

B．－16 D．a＋2a－16

2

【解析】 f(x)顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)顶点坐标(a－2，－4a＋12)，并且

f(x)与g(x)的顶点都在对方的图象上，图象如图，

由题意知，A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标， 所以A－B＝(－4a－4)－(－4a＋12)＝－16.

12

(2012·山东高考)设函数f(x)＝，g(x)＝ax＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象

x与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )

A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0