2016届山东省济宁市高考数学专题复习演练第7讲二次函数与幂函数

第四节 二次函数与幂函数

[考情展望] 1.利用幂函数的图象和性质解决幂的大小比较和图象识别等问题.2.考查二次函数的解析式求法、图象特征及最值.3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系去分析和解决问题．

一、二次函数

1．二次函数的三种形式

一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)；

顶点式：f(x)＝a(x－h)＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 2．二次函数的性质

函数 2

2

y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 定义域 值域 R ?4ac－b，＋∞? ?4a???在?－∞，－?减 2a??在?－，＋∞?增 ?2a?2?－∞，4ac－b? ??4a??在?－，＋∞?减 ?2a?在?－∞，－?增 2a??2??b???b?单调性 b?b?对称性

函数y＝f(x)对称轴的判断方法

函数的图象关于x＝－对称 2ab(1)对于函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝x1＋x2

2

对称．

(2)对于函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数

y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．

二、幂函数

1．定义：形如y＝x(α∈R)的函数叫幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的性质 函数特征性质 α

y＝x R y＝x2 R y＝x3 R y＝x [0，＋∞) 12y＝x－1 (－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 在(0，＋∞)定义域 值域 奇偶性 R 奇 [0，＋∞) 偶 在(0，＋∞)R 奇 [0，＋∞) / 单调性 增 上增 在(－∞，0)上减 增 增 上减 在(－∞，0)上减 定点

(1,1)

1．当α≠0,1时，幂函数y＝x在第一象限的图象特征(如图所示)： (1)α＞1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x； 1

(2)0＜α＜1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝x；

2

1－1

(3)α＜0，图象过点(1,1)，单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x，y＝x－. 22．幂函数的图象一定不会经过第四象限．

2

α

1．已知点M?

2

?3?

，3?在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为( ) ?3?

B．f(x)＝x 1

D．f(x)＝x－

2

－2

A．f(x)＝x 1

C．f(x)＝x

2

【解析】 设f(x)＝x，则有3＝?

α

1?3?α

?，即3＝3－2α， ?3?

1－2

∴－α＝1，∴α＝－2，∴f(x)＝x，故选B.

2【答案】 B

2．图2－4－1中C1，C2，C3为三个幂函数y＝x在第一象限内的图象，则解析式中指数

kk的值依次可以是( )

图2－4－1

1

A．－1，，3

21

C.，－1,3 2

1

B．－1,3， 21

D.，3，－1 2

【解析】 根据幂函数的图象知，选A. 【答案】 A

3．函数f(x)＝(m－1)x＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上( ) A．先减后增 C．单调递减

2

2

B．先增后减 D．单调递增

【解析】 ∵f(x)＝(m－1)x＋2mx＋3为偶函数， ∴2m＝0，∴m＝0.

则f(x)＝－x＋3在(－5，－3)上是增函数． 【答案】 D

4．函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

【解析】 二次函数f(x)的对称轴是x＝1－a，由题意知 1－a≥3，∴a≤－2. 【答案】 (－∞，－2]

1

5．(2011·陕西高考)函数y＝x的图象是( )

3

22

【解析】 已知函数解析式和图象，可以用取点验证的方法判断． 【答案】 B

6．(2013·浙江高考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )

A．a>0,4a＋b＝0 C．a>0,2a＋b＝0

B．a<0,4a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0

2

【解析】 因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0，故选A.

2a【答案】 A

考向一 [019] 二次函数的图象与性质

已知函数f(x)＝x＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．

【思路点拨】 解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系，结合图象或单调性直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间．

【尝试解答】 (1)当a＝－2时，f(x)＝x－4x＋3＝(x－2)－1， 则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝－1，

2

2

2

b

f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.

2a2

(2)函数f(x)＝x＋2ax＋3的对称轴为x＝－＝－a，

2

∴要使f(x)在[－4,6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6. (3)当a＝－1时，f(|x|)＝x－2|x|＋3

2

??x＋2x＋3＝＝?2

?x－2x＋3＝?

2

x＋x－

2

＋2，x≤0，

2

＋2，x＞0，

其图象如图所示：

又∵x∈[－4,6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数． 规律方法1 1.研究二次函数在闭区间上的最值问题，先“定性量

看图求解，事半功倍. 2. 求二次函数最值的类型及解法

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：

作草图，再“定

轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；

常画出图象结合二次函数

在该区间上的单调性求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得.

对点训练 (1)已知函数y＝ax＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )

2

(2)设f(x)＝x－2ax(0≤x≤1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)．试求M(a)及m(a)的表达式．

【解析】 (1)a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，∴y＝ax＋bx＋c的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上．D项正确．

【答案】 D

(2)f(x)＝x－2ax＝(x－a)－a，x∈[0,1]． 当a≤0时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝f(0)＝0； 12

当0＜a≤时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝－a；

212

当＜a≤1时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝－a； 2当a＞1时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝f(1)＝1－2a.

2

2

2

2

2