《高等工程数学》科学出版社 吴孟达版习题答案（1-8章）(2)

?1?1,所以标准正交基是：?2?23(t?)1

21?3?（t2?t?）656《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第二章） P50

1． 求下列矩阵的特征值、代数重数核几何重数，并判断矩阵是否可对角化

?1－10??0－1－1??411?? （2）?12? （3）?030? 0201（1）??????????3??112???21??－102??解：（1）特征值： 可对角化。 （2）特征值： 不可对角化。 （3）特征值： 不可对角化。

2． 求下列矩阵的不变因子、初等因子和Jordan标准形

?1

7－3??3?411??0

????（1）?－2－52?（2）?030? （3）?

?0

????－4－103－102??????0

?3234??1??123?

（4）?0012??0??001?

??00?0??01－10?

?0020?0112??003000解：（1）不变因子是：d1＝1,d2＝1,d3＝(?-1)(?-i)(??i)

初等因子是：(?-1),(?-i),(??i)

?100?? 0i0Jordan标准形是：?????00?i??（2）不变因子是：d1＝1,d2＝1,d3＝(?-3)3

初等因子是：(?-3)3

?310?? 031Jordan标准形是：?????003??（3）不变因子是：d1＝1,d2＝1,d3＝1,d4＝(?-1)4

初等因子是：(?-1)4

?1?0

Jordan标准形是：?

?0??0

100?110?? 011?

?

001?

（4）不变因子是：d1＝1,d2＝1,d3＝1,d4＝(?-2)（?-3），d5＝(?-1)(?-2)（?-3）

初等因子是：(?-2)，（?-3），(?-1)，(?-2)，（?-3）

?1?0?Jordan标准形是：?0??0??00000?2000??0200?

?0030?0003??0??1－10??－33－1??01?（2）A＝?－76－1?（3）A＝?11－1? 0203． 设（1）A＝???????????122???1－13???0－11??求可逆矩阵P，使得P－1AP是Jordan标准形 解：（1）A的特征值为?1＝1，?2＝?3＝2

对应的特征向量是：?1＝(1，0,-1)T,?2＝(0,0,1)T

(2)＝(-1,1,0)T 二级根向量是：?2（2）A的特征值为?1＝?2＝?3＝2 对应的特征向量是：?1＝(1，2,1)T

二级根向量和三级根向量是：?1(2)＝(1,3,3)T,?1(3)＝(0,2,2)T （3）此题数据不便于求解特征值，A的特征多项式是： 4． 试求第2题 最小多项式。

解：（1）最小多项式是：mA(?)?(?-1)(?-i)(??i) （2）最小多项式是：mA(?)?(?-3)3

（3）最小多项式是：mA(?)?(?-1)4

（4）最小多项式是：mA(?)?(?-1)(?-2)(?-3）

?102??，计算方阵多项式g(A)＝2A8?3A5?A4?A2?4I 0?115． 设A＝?????010??解：因为：

而f(?)?(?3?2??1)是A的特征多项式 ，所以f（A）＝0

??348?26??095?61故有g(A)＝24A2?37A?10I???? ?0?6134???6． 设A是可逆方阵，证明A－1可表示为A的方阵多项式。 证明：设A是n阶方阵，其特征多项式是： 因A可逆，所以an?0（为什么？自己证明） 由f(A)?a0An?a1An?1?...?an?1A?anI?0 得 所以A可表示为A的多项式。

7． 设A?0，Ak?0(k?2)，证明A不能与对角矩阵相似。

证明：由题设知，A的最小多项式是：mA(?)??2，有重根，所以不能相似对角化。

8． 已知Ap?I(p为正整数)，证明A与对角矩阵相似。

－1

证明：由题设知， g(?)??p?1是A的零化多项式，而多项式g(?)??p?1没有重根（为什么？自己证！！），所以A的最小多项式没有重根，故与对角矩阵相似 9． 设A2?A，试证A的Jordan标准形是diag{1,1,…,1,0,…,0}

证明：因为g(?)??2??是A的零化多项式，且是最小多项式，所以A的特征值只能是0和1，且可对角化，所以A的Jordan标准形是diag{1,1,…,1,0,…,0} 10． 设方阵A的特征多项式f(?)和最小多项式m(?)分别为： （1）f(?)?(??2)4(??3)2,m(?)?(??2)2(??3)2 （2）f(?)?(??3)3(??5)3,m(?)?(??3)2(??5) 试确定A的所有可能的Jordan标准形 解：（1）A的可能Jordan标准形为

?2??21??2??2?????????2121?? 或??

22??????31?31?????33????（2）A的可能Jordan标准形为

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第三章） P50

1． 自己验证范数的三个条件 2． 自己验证范数的三个条件 3． （1）

设x?(x1，x2，...，xn)?Cn，则有||x||?(?|xk|)??|xk|??|xi|?|xj|??|xk|2?||x||22－－(*)2122k?1k?1i?jk?1nnn另由Cauchy?Schwartz不等式，有||x||1?(?|xk|?1)??x,I??|I|?|x|?n||x||2－－(**)k?1n(

其中I?(11，，...，1)T?Rn所以由(*)和(**)式有： ||x||2?||x||1?n||x||2（2） （3） 4． 已知A???1?i3?||A||2，||A||?，（?A） ? 试求第||A||1 ，21?i??||A||1?max{2?2，3+2}?3+2||A||??max{3?2，2+2}?3+25?5i??1?i2??1?i3??6因AHA???????11??31?i??21?i??5?5i???6?5?5i解：|?I?AHA|???2?17??66?50?(??16)(??1)

?5?5i??11所以||A||2?4|?I?A|???1?i?2?3??1?i?(??1)2?1?6??2?2??4?(A)?2?4?16?1?525． 证明：(1)