组合数学习题5（共5章）(2)

1622223(x1?6x1x4?3x1x2?8x3?6x2) PG(x1,x2,…,x6) =24于是F的全部模式表为

PG(?w(r),?w2(r),?,?w6(r))r?Rr?Rr?R

14422[(w1???w6)6?6(w1???w6)(w1???w6)?3(w1???w6)2(w1???w6)224 332223?8(w1???w6)?6(w1???w6)]?其中，w1w2w3w4w5w6项的系数就是用6种颜色对6个面着色的方案数，等于

16!??30 241!1!?1!11. 将两个相同的白球和两个相同的黑球放入两个不同的盒子里,问有多少种不

同的方法？列出全部方案.又问每盒中有两个球的方法有多少种？ 解： 令D={w1,w2,b1,b2},R={盒1，盒2}，四个球往两个盒子里放的放法是F：D

→R。由于w1,w2是两个相同的白球，b1,b2是两个相同的黑球，由此确定出D上的置换群为

G={σI,(w1w2),(b1b2),(w1w2)(b1b2)}

其轮换指标为

1422PG(x1,x2,x3,x4) =(x1?2x1x2?x2)

4于是F上的等价类个数为

14(2?2?22?2?22)?9 4这9个不同方案分别为

l=PG(2,2,2,2)=

(?，wwbb), ( w,wbb), (b,wwb), (ww,bb), (wb,wb), (wwbb, ?), (wbb,w), (wwb,b), (bb,ww)

令w(盒1)＝x，w(盒2)＝y，则F上的全部模式表为

PG(x+y,x2+y2,x3+y3,x4+y4) =((x?y)4?2(x?y)2(x2?y2)?(x2?y2)2) =x4+2x3y+3x2y2+2xy3+y4

盒1与盒2中各放两个球的方案数是x2y2项的系数，即为3。具体方案为

(ww,bb), (wb,wb), (bb,ww)

12. 将2个红球和2个蓝球放在正六面体的顶点上,问有多少种不同的方案？ 解： 正立方体8个点的置换群G有24个元素，它们是：

（1） 不动的置换，型为18，有1个；

（2） 绕相对两面中心轴旋转90°，270°的置换，型为42，有6个；旋转

180°的置换，型为24，有3个；

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14（3） 绕相对两顶点连线旋转120°，240°的置换，型为1232，有8个； （4） 绕相对两边中点连线旋转180°的置换，型为24，有6个。 所以，该置换群的轮换指标为

182224PG（x1,x2,…,x6）=(x1?6x4?8x1x3?9x2)

24下面计算全部着色模式。这里，假设除了红色和蓝色外我们放绿球，则R={c1,c2,c3}，w(c1)=r，w(c2)=b，w(c3)=g，于是 F的全部模式表

1[(r?b?g)8?6(r4?b4?g4)2?8(r?b?g)2(r3?b3?g3)2?9(r2?b2?g2)4] 24其中，红色、蓝色各出现2次的方案数就是上述展开式中r2b2g4项的系数，即

18!4!(?9?)?22 242!2!4!1!1!2!13. 长为n的透明的方格,用红、蓝、黄、绿4种颜色进行着色,试问有多少种不

同的方案？ 解：问题相当于用r,b,y,g构成长为n的字符串，将从左向右的字符顺序和从右向

左的字符顺序看作时相同的，例如，yggrbr和rbrggy看作是相同的。

群G：??2?n?1n??12?n??1?????nn?1?? 12?n21????根据 Pólya定理，不同的方案数应为：

N＝

1n(4?42?n?1????2?)

14. 用两种颜色对正六面体的6个面、8个顶点进行着色,问有多少种不同方案？

转动使之一致作为一类处理.

解：对正六面体的6个面的置换群设为G，G的循环指数多项式为：

622232 P(G)=S1?6S1S4?3S1S2?6S2?8S3

设正六面体8个顶点的置换群为H，H的循环指数多项式为

82422P(H)=S1?6S4?9S2?8S1S3

P(G?H)=P(G)P(H)=

?12324{ S16?6S12S4?3S12S2?6S2?8S32 }{S18?6S4?9S2?8S12S32} 2(24)11424210343102{ S1?6S16S4?9S16S2?8S18S3?6S1 ?36S12S4?54S12S2S4?48S14S2S4?3S1S22(24)22622332732222?18S12S2S4?27S12S2?24S14S2S3?6S18S2?36S2S4?54S2?48S12S2S3?8S18S3?48S3S4444?72S2S3?64S12S3} 37

所求的不同等价类数为

1?{26?6?23?3?24?6?23?8?22}?{28?6?22?9?24?8?24} 576?1?{64?48?48?48?32}?{256?24?144?28} 5761?240?552?230 576?15. 一个正八面体,用红、蓝两色对6个顶点进行着色；用黄、绿两种颜色对8

个面进行着色,试求其中4个顶点为红,两个顶点为蓝,黄和绿的面各4面的方案数. 注：正八面体可以看作是正方体的对偶，每一面用中心代表一个顶点，相交于一 …… 此处隐藏：334字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……