第3讲 解析几何之中点弦题型(2)

【纵向应用】

5.已知直线y?ax?1与双曲线3x?y?1交于A、B点。

（1）求a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y?请求出a的值；若不存在，说明理由。

221x对称？若存在， 2【横向拓展】

6.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。

x2?y2?1。 已知椭圆C1:4x2y2??1，（1） 若椭圆C2:判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，164请说明理由；

（2） 写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆Cb的方程；若在椭圆Cb上存在两点M、N关于直线

y?x?1对称，求实数b的取值范围？

x2y2（3） 如图：直线l与两个“相似椭圆”2?2?1和

abx2y22???(a?b?0,0???1)分别交于点22abA,B和点C,D，证明：AC?BD

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【练习题答案】

1.(4,2) 2.y??25x? 333.能，y?2x?3

4.m????213213??13,13?? ???y?ax?1225.【解析】：（1）由?2消去y，得(3?a)x?2ax?2?0 2?3x?y?1?3?a2?0依题意?即?6?a?6且a??3

???0（2）如果存在的话，必须满足AB被y?代入（1）中方程得x?4x?2?0

设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB的中点M(x0,y0)，

21x垂直平分，所以a??2 2x1?x2?2，y0??2x0?1??3，即M(2,?3) 21但M(2,?3)不在y?x上，所以不存在这样的a。

2则x0?6.【解析】：（1）椭圆C2与C1相似。

因为椭圆C2的特征三角形是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆C1的特征三角形是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1

x2y2（2）椭圆Cb的方程为：2?2?1(b?0)-

4bb设lMN:y??x?t，点M(x1,y1),N(x2,y2)，MN中点为(x0,y0)，

?y??x?t?222则?x2，所以5x?8tx?4(t?b)?0 y2?2?2?1?4bbx1?x24tt?,y0? 2555t4t?1，t?? 因为中点在直线y?x?1上，所以有?355则x0?7 www.1smart.org 中国领先的高端教育连锁集团

即直线lMN的方程为：lMN:y??x?5， 3由题意可知，直线lMN与椭圆Cb有两个不同的交点，

即方程5x?8(?)x?4[(?)?b]?0有两个不同的实数解，

2535322所以??(402255 )?4?5?4?(?b2)?0，即b?393（3）证明：

①直线l与x轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，所以AC?BD； ②直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y?kx?n，A(x1,y1),B(x2,y2)， 线段AB的中点(x0,y0)，

?y?kx?n?2?(b2?a2k2)x2?2a2knx?(a2n2?a2b2)?0 ?xy2?2?2?1b?a?1a2knx?(x?x)??2?a2knnb2?0212b?a2k2,2) ???线段AB的中点为(?222222b?akb?ak?y?kx?n?nb00?b2?a2k2?a2knnb2,)， 同理可得线段CD的中点为(?2b?a2k2b2?a2k2即线段AB与CD的中点重合，所以AC?BD

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